topología y conjuntos y análisis-matemático y gato-y-perro y congruencias

Axiomas: [ de la teoría de conjuntos ]

Axioma de extensionalidad:

[Ax][ x € A <==> x € B ] <==> A = B

Axioma del primer poder de Dios:

[Az][ z € { x : f(x) } <==> ( [EB][ z € B ] & f(z) ) ]

Axioma de regularidad:

[Ax][ x [&] {x} = 0 ]

Axioma del segundo poder de Dios:

[AE][AF][Eh][ < h: E ---> F & x --> h(x) > ]

Ley: [ del que lo ve a él ve al Padre ]

Si Conocimiento teórico de la ley ==> ( universo & ley )

Deducción:

Si z € { x : f(x) } ==>

[EB][ z € B ] & f(z)

f(z)

Se define A = universo ==>

Se define < h: F(B) ----> F(B) [ |o| ] F(A) & f(z) --> ( h( f(z) ) = f(z) |o| h( f(z) ) = f(y) ) >

h( f(z) )

f(y)

[EA][ y € A ] & f(y)

Anexo:

No es ninguien Jesucristo,

porque el que lo ve a él ve al Padre,

y no ha creado ningún hombre a los hombres.

Jesucristo solo puede ser la Luz,

porque la entidad es dual,

y solo una energía dual la puede haber creado.

Definición:

0 = { x : x != x } = } ¬x : ¬x = ¬x {

not(0) = { x : x = x } = } ¬x : ¬x != ¬x {

Teorema:

[Ax][ ¬( x € 0 ) ]

Demostración:

Sea x € 0 ==>

x != x

x != x & x = x

Teorema:

[AB][ 0 [<< B ]

[AB][ not(0) >>] B ]

Demostración:

Sea ¬( x € B )

¬( x € 0 )

Sea x € B ==>

x = x

x € not(0)

Definición:

P(A) = { x : x [<< A }

¬P(¬A) = } ¬x : ¬x >>] ¬A {

Teorema:

P(0) = {0}

¬P(not(0)) = }not(0){

Demostración:

x [<< 0

x = 0

¬x >>] not(0)

¬x = not(0)

Axioma:

[Ax][ x [&] {x} = 0 ]

Teorema:

¬( x € x )

Demostración:

Sea x € x ==>

z = x

z € x

{x} [<< x

{x} = {x} [&] {x} [<< x [&] {x} = 0

{x} = 0

Teorema:

x € not(0) <==> [EB][ x € B ]

¬( x € not(0) ) <==> [AB][ ¬( x € B ) ]

Demostración:

Si [EB][ z € B ] ==>

[EB][ z € B ] & z = z 

z € { x : x = x }

z € not(0)

Si [AB][ ¬( x € B ) ] ==>

Sea B = not(0)

¬( x € not(0) )

Teorema:

[AB][ ¬( not(0) € B ) ]

Demostración:

¬( not(0) € not(0) )

Teorema:

0 = { x : x € x } = } ¬x : ¬( ¬x € ¬x ) {

not(0) = { x : ¬( x € x ) } = } ¬x : ¬x € ¬x {

Demostración:

x != x <==> x € x

x = x <==> ¬( x € x )

Definición: [ de topología de conjunto ]

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> B_{k} € E ] ==>

[ || ]-[k = 1]-[n][ B_{k} ] € E

[&]-[k = 1]-[n][ B_{k} ] € E

Definición: [ de topología de no conjunto ]

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> ¬( ¬B_{k} € ¬E ) ] ==>

¬( [&]-[k = 1]-[n][ ¬B_{k} ] € ¬E )

¬( [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬B_{k} ] € ¬E )

Teorema: [ de topología discreta ]

Sea E = { 0 , A } ==> E es una topología de conjunto.

Sea ¬E = } not(0) , ¬A { ==> ¬E es una topología de no conjunto.

Demostración:

0 [ || ] A = A € E

0 [&] A = 0 € E

not(0) [&] ¬A = ¬A & ¬( ¬A € ¬E )

not(0) [ || ] ¬A = not(0) & ¬( not(0) € ¬E )

Teorema: [ de topología de partes ]

P(E) es una topología de conjunto.

¬P(¬E) es una topología de no conjunto.

Demostración:

Sea [Ak][ B_{k} € P(E) ] ==>

[Ak][ B_{k} [<< E ]

[ || ]-[k = 1]-[n][ B_{k} ] [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ E ] = E

[ || ]-[k = 1]-[n][ B_{k} ] € P(E)

[&]-[k = 1]-[n][ B_{k} ] [<< [&]-[k = 1]-[n][ E ] = E

[&]-[k = 1]-[n][ B_{k} ] € P(E)

Sea [Ak][ ( ¬B_{k} € ¬P(¬E) ) ] ==>

[Ak][ ¬B_{k} >>] ¬E ]

[ || ]-[k = 1]-[n][ ¬B_{k} ] >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬E ] = ¬E

¬( [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬B_{k} ] € ¬P(¬E) )

[&]-[k = 1]-[n][ ¬B_{k} ] >>] [&]-[k = 1]-[n][ ¬E ] = ¬E

¬( [&]-[k = 1]-[n][ ¬B_{k} ] € ¬P(¬E) )

Teorema:

Si P({a,b}) = { 0 , {a} , {b} , {a,b} } ==> P({a,b}) es una topología de conjunto.

Si ¬P(}a,b{) = } not(0) , }a{ , }b{ , }a,b{ { ==> ¬P(}a,b{) es una topología de no conjunto.

Demostración:

{a,b} [ || ] {a} = {a,b} € P({a,b})

0 [&] {b} = 0 € P({a,b})

{a,b} [ || ] {b} = {a,b} € P({a,b})

0 [&] {a} = 0 € P({a,b})

{a,b} [&] {a} = {a} € P({a,b})

0 [ || ] {b} = {b} € P({a,b})

{a,b} [&] {b} = {b} € P({a,b})

0 [ || ] {a} = {a} € P({a,b})

{a} [ || ] {b} = {a,b} € P({a,b})

{b} [&] {a} = 0 € P({a,b})

{a,b} [ || ] 0 = {a,b} € P({a,b})

0 [&] {a,b} = 0 € P({a,b})

Teorema:

Si P({a,b,c}) = { 0 , {a} , {b} , {c} , {b,c} , {c,a} , {a,b} , {a,b,c} } ==> ...

... P({a,b,c}) es una topología de conjunto.

Si ¬P(}a,b,c{) = } not(0) , }a{ , }b{ , }c{ , }b,c{ , }c,a{ , }a,b{ , }a,b,c{ { ==> ...

... ¬P(}a,b,c{) es una topología de no conjunto.

Demostración:

{a} [ || ] {b,c} = {a,b,c} € P({a,b,c})

{b,c} [&] {a} = 0 € P({a,b,c})

{b} [ || ] {c,a} = {a,b,c} € P({a,b,c})

{c,a} [&] {b} = 0 € P({a,b,c})

{c} [ || ] {a,b} = {a,b,c} € P({a,b,c})

{a,b} [&] {c} = 0 € P({a,b,c})

 

Teorema:

Sea E = { z : [Ek][ 1 [< k [< oo & z = {a_{1},...,a_{k}} ] }

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> {a_{1},...,a_{k}} € E ] ==>

[ || ]-[k = 1]-[n][ {a_{1},...,a_{k}} ] € E

[&]-[k = 1]-[n][ {a_{1},...,a_{k}} ] € E

Sea ¬E = } z : [Ek][ 1 [< k [< oo & z = }a_{1},...,a_{k}{ ] {

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> ¬( }a_{1},...,a_{k}{ € ¬E ) ] ==>

¬( [&]-[k = 1]-[n][ }a_{1},...,a_{k}{ ] € ¬E )

¬( [ || ]-[k = 1]-[n][ }a_{1},...,a_{k}{ ] € ¬E )

Teorema: [ topología de la función acotada ]

Sea < m : N ---> N & k --> m_{k} > ==>

Sea B_{1} = { < x_{1},...,x_{n} > : f(x_{1},...,x_{n}) [< R^{2} }

Si B_{m_{k}} = { < x_{1},...,x_{n} > : f(x_{1},...,x_{n}) [< (1/m_{k})·R^{2} } € P(B_{1}) ==>

[ || ]-[k = 1]-[n][ B_{m_{k}} ] € P(B_{1})

[&]-[k = 1]-[n][ B_{m_{k}} ] € P(B_{1})

Sea ¬B_{1} = { < x_{1},...,x_{n} > : f(x_{1},...,x_{n}) >] R^{2} }

Si ¬B_{m_{k}} = { < x_{1},...,x_{n} > : f(x_{1},...,x_{n}) >] m_{k}·R^{2} } € P(¬B_{1}) ==>

[&]-[k = 1]-[n][ ¬B_{m_{k}} ] € P(¬B_{1})

[ || ]-[k = 1]-[n][ ¬B_{m_{k}} ] € P(¬B_{1})

Demostración:

Si (1/m_{k+1}) [< (1/m_{k}) ==> 

B_{m_{k+1}} [<< B_{m_{k}}

[ || ]-[k = 1]-[n][ B_{m_{k}} ] = B_{min{m_{1},...,m_{n}}} [<< B_{1}

[&]-[k = 1]-[n][ B_{m_{k}} ] = B_{max{m_{1},...,m_{n}}} [<< B_{1}

Si m_{k} [< m_{k+1} ==> 

¬B_{m_{k+1}} [<< ¬B_{m_{k}}

[&]-[k = 1]-[n][ ¬B_{m_{k}} ] = ¬B_{max{m_{1},...,m_{n}}} [<< ¬B_{1}

[ || ]-[k = 1]-[n][ ¬B_{m_{k}} ] = ¬B_{min{m_{1},...,m_{n}}} [<< ¬B_{1}

Teorema: [ topología de Euclides ]

Sea < m : N ---> N & k --> m_{k} > ==>

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> p^{m_{k}} € A ] ==>

mcm{ p^{m_{1}},...,p^{m_{n}} } € A

mcd{ p^{m_{1}},...,p^{m_{n}} } € A

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> (1/p)^{m_{k}} € ¬A ] ==>

mcd{ (1/p)^{m_{1}},...,(1/p)^{m_{n}} } € ¬A

mcm{ (1/p)^{m_{1}},...,(1/p)^{m_{n}} } € ¬A

Demostración:

Si m_{k} [< m_{k+1} ==> 

p^{m_{k}} | p^{m_{k+1}}

mcm{ p^{m_{1}},...,p^{m_{n}} } = p^{max{m_{1},...,m_{n}}} € A

mcd{ p^{m_{1}},...,p^{m_{n}} } = p^{min{m_{1},...,m_{n}}} € A

Si m_{k} [< m_{k+1} ==> 

(1/p)^{m_{k}} | (1/p)^{m_{k+1}}

mcd{ (1/p)^{m_{1}},...,(1/p)^{m_{n}} } = (1/p)^{min{m_{1},...,m_{n}}} € ¬A

mcm{ (1/p)^{m_{1}},...,(1/p)^{m_{n}} } = (1/p)^{max{m_{1},...,m_{n}}} € ¬A

Teorema: [ topología de la semi-recta ]

Sea < m : N ---> N & k --> m_{k} > ==>

Si A_{m_{k}} = { x : 0 [< x [< m_{k} } € P([0,oo]_{R})  ==>

[ || ]-[k = 1]-[n][ A_{m_{k}} ] € P([0,oo]_{R})

[&]-[k = 1]-[n][ A_{m_{k}} ] € P([0,oo]_{R})

Si ¬A_{m_{k}} = { (-x) : (-0) >] (-x) >] (-1)·m_{k} } € P([(-oo),(-0)]_{R})  ==>

[&]-[k = 1]-[n][ ¬B_{m_{k}} ] € P([(-oo),(-0)]_{R})

[ || ]-[k = 1]-[n][ ¬B_{m_{k}} ] € P([(-oo),(-0)]_{R})

Demostración:

Si m_{k} [< m_{k+1} ==> 

A_{m_{k}} [<< A_{m_{k+1}}

[ || ]-[k = 1]-[n][ A_{m_{k}} ] = A_{max{m_{1},...,m_{n}}} [<< [0,oo]_{R}

[&]-[k = 1]-[n][ A_{m_{k}} ] = A_{min{m_{1},...,m_{n}}} [<< [0,oo]_{R}

Si m_{k} [< m_{k+1} ==>

(-1)·m_{k+1} [< (-1)·m_{k} 

¬A_{m_{k}} [<< ¬A_{m_{k+1}}

[&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{m_{k}} ] = ¬A_{min{m_{1},...,m_{n}}} [<< [(-oo),(-0)]_{R}

[ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{m_{k}} ] = ¬A_{max{m_{1},...,m_{n}}} [<< [(-oo),(-0)]_{R}

Topología del sumatorio:

Definición:

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(j) <==> f(1)+...+f(j) = f(1)+...+f(k)+f(k+1)+...+f(j)

Teorema:

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k)

Demostración:

f(k+1)+...+f(j) = 0

Teorema:

( f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(j) & f(1)+...+f(j) [ € ] f(1)+...+f(k) ) <==> f(1)+...+f(k) = f(1)+...+f(j)

Demostración:

Si j > k ==> f(k+1)+...+f(j) = 0

Si j < k ==> f(j+1)+...+f(k) = 0

Teorema:

Si ( f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(j) & f(1)+...+f(j) [ € ] f(1)+...+f(i) ) ==> f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(i)

Demostración:

f(1)+...+f(k)+f(k+1)+...+f(j) = f(1)+...+f(j) & f(1)+...+f(j)+f(j+1)+...+f(i) = f(1)+...+f(i)

f(1)+...+f(k)+f(k+1)+...+f(j)+f(j+1)+...+f(i) = f(1)+...+f(i)

Definición:

z [ € ] f(1)+...+f(k) [ || ] f(1)+...+f(j) <==> ( z [ € ] f(1)+...+f(k) || z [ € ] f(1)+...+f(j) )

z [ € ] f(1)+...+f(k) [&] f(1)+...+f(j) <==> ( z [ € ] f(1)+...+f(k) & z [ € ] f(1)+...+f(j) )

Teorema:

f(1)+...+f(k) [&] f(1)+...+f(j) [ € ] f(1)+...+f(k)

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) [ || ] f(1)+...+f(j)

Demostración:

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) [&] f(1)+...+f(j) )

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) & f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(j)

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k)

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) || f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(j)

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) [ || ] f(1)+...+f(j)

Teorema:

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(j) <==>

f(1)+...+f(k) [ || ] f(1)+...+f(j) = f(1)+...+f(j)

Demostración:

[==>]

[ [< ]

f(1)+...+f(k) [ || ] f(1)+...+f(j) [ € ] f(1)+...+f(j) [ || ] f(1)+...+f(j) = f(1)+...+f(j)

[ >] ]

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k)

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) || f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(j)

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) [ || ] f(1)+...+f(j)

[<==]

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) [ || ] f(1)+...+f(j) = f(1)+...+f(j)

Teorema:

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(j) <==>

f(1)+...+f(k) [&] f(1)+...+f(j) = f(1)+...+f(k)

Demostración:

[==>]

[ >] ]

f(1)+...+f(k) = f(1)+...+f(k) [&] f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) [&] f(1)+...+f(j)

[ [< ]

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) [&] f(1)+...+f(j) ==>

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k) & f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(j)

f(1)+...+f(k) [ € ] f(1)+...+f(k)

[<==]

f(1)+...+f(k) = f(1)+...+f(k) [&] f(1)+...+f(j) [ € ] f(1)+...+f(j)

Teorema:

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> B_{k} = f(1)+...+f(k) € A ] ==>

[ || ]-[k = 1]-[n][ f(1)+...+f(k) ] € A

[&]-[k = 1]-[n][ f(1)+...+f(k) ] € A

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> ¬B_{k} = (-1)·f(1)+...+(-1)·f(k) € ¬A ] ==>

[&]-[k = 1]-[n][ (-1)·f(1)+...+(-1)·f(k) ] € ¬A

[ || ]-[k = 1]-[n][ (-1)·f(1)+...+(-1)·f(k) ] € ¬A

Demostración:

Teorema:

[ || ]-[k = 1]-[n][ sum[j = 1]-[k][ f(j) ] ] = sum[k = 1]-[n][ f(k) ]

[&]-[k = 1]-[n][ sum[j = 1]-[k][ f(j) ] ] = sum[k = 1]-[n][ (1/n)·f(1) ]

Demostración:

f(1) [ || ] ...(n)... [ || ] ( f(1)+...+f(n) ) = f(1)+...+f(n)

f(1) [&] ...(n)... [&] ( f(1)+...+f(n) ) = f(1)

Teorema:

[ || ]-[k = 1]-[n][ k+p ] = sum[k = 1]-[n][ 1+(p/n) ]

[&]-[k = 1]-[n][ k+p ] = sum[k = 1]-[n][ (1/n)+(p/n) ]

Teorema:

[&]-[k = 1]-[n][ (-1)·(k+p) ] = (-1)·sum[k = 1]-[n][ (1/n)+(p/n) ]

[ || ]-[k = 1]-[n][ (-1)·(k+p) ] = (-1)·sum[k = 1]-[n][ 1+(p/n) ]

Teorema:

[ || ]-[k = 1]-[n][ (1/2)·k·(k+1) ] = sum[k = 1]-[n][ k ]

[&]-[k = 1]-[n][ (1/2)·k·(k+1) ] = sum[k = 1]-[n][ (1/n) ]

Teorema:

[&]-[k = 1]-[n][ (-1)·(1/2)·k·(k+1) ] = (-1)·sum[k = 1]-[n][ (1/n) ]

[ || ]-[k = 1]-[n][ (-1)·(1/2)·k·(k+1) ] = (-1)·sum[k = 1]-[n][ k ]

Teorema:

[ || ]-[k = 1]-[n][ (1/6)·k·(k+1)·(2k+1) ] = sum[k = 1]-[n][ k^{2} ]

[&]-[k = 1]-[n][ (1/6)·k·(k+1)·(2k+1) ] = sum[k = 1]-[n][ (1/n) ]

Teorema:

[&]-[k = 1]-[n][ (-1)·(1/6)·k·(k+1)·(2k+1) ] = (-1)·sum[k = 1]-[n][ (1/n) ]

[ || ]-[k = 1]-[n][ (-1)·(1/6)·k·(k+1)·(2k+1) ] = (-1)·sum[k = 1]-[n][ k^{2} ]

La serpiente a la sombra del águila:

-Mis matemáticas son diferentes a las tuyas.-

-No es esto,

es que aun te queda mucho para aprender.-

-Tus matemáticas ya no son diferentes a las mías.-

-Sí es eso,

es que ya no me queda mucho por aprender.-

Historia:

Si no le hubiese querido quitar el arma a un policía para matar-lo,

no se sabría que la gente no es,

porque si me iluminasen entonces me moriría del no matarás en futuro.

Le he querido quitar el arma a un policía para matar-lo,

y se sabe que la gente no es,

porque me iluminan y no me muero del no matarás en futuro.

Teorema:

Sea ( [Ax][ f(x) >] 0 ] & lim[x = oo][ f(x) ] = 0 & lim[x = (-oo)][ f(x) ] = 0 ) ==> ...

... Si f(x) es continua ==> rec(f(x)) es compacto.

Demostración:

[Au][ u > 0 ==> [Ea][Ax][ x < a ==> |f(x)| < u ] ]

[Av][ v > 0 ==> [Eb][Ax][ x > b ==> |f(x)| < v ] ]

Sea M = max{ f(x) : a [< x [< b }

Se define m€N & m >] max{ M,u,v }

rec(f(x)) [<< [ || ]-[r = 0]-[m+(-1)][ [r,r+1]_{m} ]

Teorema:

Si a_{n} es convergente ==> [Am][ a_{mk+r} es convergente ]

Demostración

Sea s > 0 ==>

Se define k_{0} >] n_{0}

Sea k > k_{0} ==>

| a_{mk+r}+(-a) | = | a_{n}+(-a) | < s

Teorema:

Si a_{n} está acotada ==> [Ea_{n_{k}}][ a_{n_{k}} es de Cauchy ]

Demostración:

Sea a_{n} acotada ==>

Sea a_{n_{1}} = max{a_{n}}

Sea a_{n_{2}} = min{a_{n}}

v = a_{n_{1}}+(-M) [< 0

u = a_{n_{2}}+(-W) >] 0

a_{n} [< a_{n_{1}} = v+M

a_{i} >] a_{n_{2}} = u+W

a_{n}+(-1)·a_{i} [< ( v+M )+(-1)·( u+W )

a_{i}+(-1)·a_{n} >] ( u+W )+(-1)·( v+M )

Sea s > 0 ==>

| a_{n_{k}}+(-1)·a_{n_{j}} | < s 

a_{n_{2}} [< a_{n_{1}}

| a_{n_{j}}+(-1)·a_{n_{k}} | < s

a_{n_{1}} >] a_{n_{2}}

Modus ponens:

Si P(x) ==> 1

[Ea_{n_{k}}][ a_{n_{k}} es de Cauchy ]

Teorema:

Si a_{n} está acotada ==> [Em][ a_{mk+r} es de Cauchy ]

Demostración:

Se define m€N & a_{mk} = a_{mj}

Sea s > 0 ==>

Se define k_{0} € N 

Sea k > k_{0} ==>

| a_{mk+r}+(-1)·a_{mj+r} | = | a_{[r]_{m}}+(-1)·a_{[r]_{m}} | < s

Teorema:

Sea ( a_{n} = (-1)^{n}·b_{n} & lim[n = oo][ b_{n} ] = b ) ==> ...

... ( a_{2k+r} es de Cauchy & lim[k = oo][ a_{2k+r} ] = (-1)^{r}·b )

Demostración:

Sea s > 0 ==>

| (-1)^{2k+r}·b_{2k+r}+(-1)·( (-1)^{2j+r}·b_{2j+r} ) | = ...

... | (-1)^{[r]_{2}}·b_{[r]_{2}}+(-1)·( (-1)^{[r]_{2}}·b_{[r]_{2}} ) | < s

lim[k = oo][ a_{2k+r} ] = lim[k = oo][ (-1)^{2k+r}·b_{2k+r} ] = ...

... lim[k = oo][ (-1)^{2k}·(-1)^{r}·b_{2k+r} ] = lim[k = oo][ 1^{k}·(-1)^{r}·b_{2k+r} ] = ...

... lim[k = oo][ (-1)^{r}·b_{2k+r} ] = lim[k = oo]-[oo < 2·oo][ (-1)^{r}·b_{2k+1} ] = (-1)^{r}·b

Teorema:

Sea ( a_{n} = i^{n}·b_{n} & lim[n = oo][ b_{n} ] = b ) ==> ...

... ( a_{4k+r} es de Cauchy & lim[k = oo][ a_{4k+r} ] = i^{r}·b )

Teorema:

Sea ( a_{n} = cos(n·pi)·b_{n} & lim[n = oo][ b_{n} ] = b ) ==> ...

... ( a_{2k+r} es de Cauchy & lim[k = oo][ a_{2k+r} ] = cos(r·pi)·b )

Teorema:

Sea ( a_{n} = sin(n·(pi/2))·b_{n} & lim[n = oo][ b_{n} ] = b ) ==> ...

... ( a_{4k+r} es de Cauchy & lim[k = oo][ a_{4k+r} ] = sin(r·(pi/2))·b )

Ley:

Gato:

ma-em am me-ma.

ma-em am ma-me.

Perro:

ga-eg ag ge-ga.

ga-eg ag ga-ge.

Humano:

querer estar con la muerte.

querer estar con la vida.

Ley:

Gato:

ma-em am me-mi,

em-em mu.

ma-em am ma-mu,

am-am mu.

Perro:

ga-eg ag ge-go,

eg-eg gu.

ga-eg ag ga-gu,

ag-ag gu.

Humano:

querer estar con el próximo cercano,

siendo igual que tú.

querer estar con el prójimo lejano,

siendo diferente que tú.

Anexo:

Este dual hace menjar de gato y bebida de gato,

para el prójimo.

Este dual hace menjar de perro y bebida de perro,

para el prójimo.

Ley:

Un plato con menjar de gato,

fuera de una casa de un gato que es,

es legal,

porque ama al prójimo como no a si mismo.

Un plato con menjar de perro,

fuera de una casa de un perro que es,

es legal,

porque ama al prójimo como no a si mismo.

Ley:

Gato:

ma-em am mi-mu-mi.

me-em am mu-mi-mu.

Perro:

ga-eg ag go-gu-go.

ge-eg ag gu-go-gu.

Humano:

querer estar con calor.

querer estar con hielor.

Ley:

Gato:

ma-em me-ma-me.

ma-em ma-me-ma.

Perro:

ga-eg ge-ga-ge.

ga-eg ga-ge-ga.

Humano:

querer estar enfermo.

querer estar sano.

Ley: [ de nombres ]

Gato:

mem

mim

Perro:

gag

gog

Ley:

Gato:

mu-em um me.

mi-em im me-mi.

mi-am im ma.

mu-am um ma-mu.

Perro:

gu-eg ug ge.

go-eg og ge-go.

go-ag og ga.

gu-ag ug ga-gu.

Humano:

solgar fuera de él.

vatchnar a dentro del próximo cercano.

entrar dentro de ella.

venir de fuera del prójimo lejano.

Anexo:

Este dual es el casa del gato,

con la puerta pequeña de tamaño de gato.

Este dual es el casa del perro,

con la puerta pequeña de tamaño de perro.

Ley:

La casa de gato,

con puerta pequeña de tamaño de gato,

es legal,

porque con un gato que es,

hay condenación,

en tener energía dual el idioma de gato.

La casa de perro,

con puerta pequeña de tamaño de perro,

es legal,

porque con un perro que es,

hay condenación,

en tener energía dual el idioma de perro.

De Morgan de Gato y Perro:

Ley:

Gato:

mi-mi-me a mi-me.

mu-mu-ma y mu-ma.

Perro:

go-go-ge o go-ge.

gu-gu-ga e gu-ga.

Humano:

gente que es o descendiente de Númenor.

gente que no es y no descendiente de Númenor

Anexo:

Gato:

Si ( mi-mi-me y mu-ma ) ==> Miau

Perro:

Si ( go-go-ge e gu-ga ) ==> Goau

Humano:

Si ( gente que es y no descendiente de Númenor ) ==> No

Ley:

Gato:

im-im me-mi y mi-ma.

um-um ma-mu a mu-me.

Perro:

og-og ge-go e go-ga.

ug-ug ga-gu o gu-ge.

Humano:

[Ax][ x próximo cercano ] y acción de amor.

[Ex][ x prójimo lejano ] o acción de odio.

Anexo:

Gato:

Si ( im-im me-mi y mu-me ) ==> Miau

Miau mu-me im mu.

Perro:

Si ( og-og ge-go e gu-ge ) ==> Goau

Goau gu-ge og gu.

Humano:

Si ( [Ax][ x próximo cercano ] y acción de odio ) ==> No

No acciones de odio dentro de ti.

Ley:

No se puede amar a alguien,

que no paga condenación y tiene condenación,

porque sin dolor,

no hay placer.

Se puede amar a alguien,

que paga condenación o no tiene condenación,

porque con dolor,

hay placer.

Ley:

La única diferencia entre este mundo y el su mundo,

es que en su mundo no hay hombres fieles.

La única diferencia entre su mundo y este mundo,

es que en este mundo hay hombres fieles.

Ley:

Igualmente les sigue una máquina humana,

en este mundo igual que en su mundo.

Igualmente les sigue una máquina extraterrestre,

en su mundo igual que en este mundo.

Ley:

Traen a su gente fiel a este mundo,

y es lo mismo este mundo que su mundo.

No traen a su gente fiel a este mundo,

y no es lo mismo su mundo que este mundo.

Teorema:

x^{n} =[pm]= 0

x = pk

m = p^{n+(-1)}·k^{n}

Teorema:

x^{n} =[pm+1]= 0

x = pk+1

m = sum[j = 0]-[n+(-1)][ [ n // j ]·p^{n+(-j)+(-1)}·k^{n+(-j)} ]

Teorema:

x^{n} =[pm+q^{n}]= 0

x = pk+q

m = sum[j = 0]-[n+(-1)][ [ n // j ]·p^{n+(-j)+(-1)}·k^{n+(-j)}·q^{j} ]

Teorema:

x^{2} =[4m]= 0

x = 2k

m = k^{2}

Teorema:

x^{2} =[4m+1]= 0

x = 2k+1

m = k^{2}+k

Teorema:

x^{2} =[4m+q^{2}]= 0

x = 2k+q

m = k^{2}+kq

Teorema:

x^{3} =[9m]= 0

x = 3k

m = 3k^{3}

Teorema:

x^{3} =[9m+1]= 0

x = 3k+1

m = 3k^{3}+3k^{2}+k

Teorema:

x^{3} =[9m+q^{3}]= 0

x = 3k+q

m = 3k^{3}+3k^{2}·q+kq^{2}

Teorema:

x^{n}+...+x =[pm]= 0

x = pk

m = sum[i = 1]-[n][ p^{i+(-1)}·k^{i} ]

Teorema:

x^{n}+...+x =[pm+n]= 0

x = pk+1

m = sum[i = 1]-[n][ sum[j = 0]-[i+(-1)][ [ i // j ]·p^{i+(-j)+(-1)}·k^{i+(-j)} ] ]

Teorema:

x^{n}+...+x =[pm+q^{n}+...+q]= 0

x = pk+q

m = sum[i = 1]-[n][ sum[j = 0]-[i+(-1)][ [ i // j ]·p^{i+(-j)+(-1)}·k^{i+(-j)}·q^{(j/i)} ] ]

Teorema:

( x_{n} )^{n}+...+x_{1} =[pm_{k}+q]= 0

x_{i} = pk+(q/n)^{(1/i)}

m = sum[i = 1]-[n][ sum[j = 0]-[i+(-1)][ [ i // j ]·p^{i+(-j)+(-1)}·k^{i+(-j)}·(q/n)^{(j/i)} ] ]

gato-y-perro y teoría-de-cuerdas y topología-espacios-métricos y integrales-impropias y regresiones-de-marihuana y conjuntos

Ley:

Gato:

miu.

miau.

Perro:

gou.

goau.

Humano castellano:

sí

no

Ley:

Gato:

mi-um

mu-im

ma-em am mu-mu-me.

me-am am mi-mi-me.

mu-im

mi-um

ma-em am mi-mi-ma.

me-am am mu-mu-ma.

Perro:

go-ug.

gu-og

ga-eg ag gu-gu-ge.

ge-ag ag go-go-ge.

gu-og.

go-ug.

ga-eg ag go-go-ga.

ge-ag ag gu-gu-ga.

Humano Castellano:

atacar, sin sonido.

defender-se, con sonido.

querer estar con reacciones de odio.

poder estar con gente que es.

defender-se, con sonido.

atacar, sin sonido.

querer estar con reacciones de amor.

poder estar con gente que no es.

Ley:

Aunque el gato no entienda lo que decimos,

ponemos un símbolo al gato,

si hacemos los duales del idioma de gato.

Aunque el perro no entienda lo que decimos,

ponemos un símbolo al perro,

si hacemos los duales del idioma de perro.

Destructor:

< yo, tú, él, ella >

< mi, mu, me, ma >

< go, gu, ge, ga >

Destructor:

< nosotros, vosotros, ellos, ellas >

< mi-mi, mu-mu, me-me, ma-ma >

< go-go, gu-gu, ge-ge, ga-ga >

Ley:

Gato:

ma-em am mi-mu.

ma-em am mu-mi.

Perro:

ga-eg ag go-gu.

ga-eg ag gu-go.

Humano castellano:

querer estar con placer.

querer estar con dolor.

Ley: [ de rezar ]

Gato:

ma-em am me-me-mu.

ma-em am me-mu.

ma-em am me-me-mi.

ma-em am ma-ma-mi.

ma-em am ma-mi.

me-em am ma-ma-mu

Perro:

ga-eg ag ge-ge-gu.

ga-eg ag ge-gu.

ga-eg ag ge-ge-go.

ga-eg ag ga-ga-go.

ga-eg ag ga-go.

ga-eg ag ga-ga-gu.

Humano Castellano:

querer estar con dios.

querer estar con el señor.

querer estar con energía constructora.

querer estar con diosa.

querer estar con la señora.

querer estar con energía destructora.

Ley:

Gato:

mu-em um me.

mi-am im ma.

Perro:

gu-eg ug ge.

go-ag og ga.

Humano castellano:

suelga fuera de él.

entra dentro de ella.

El Mal no vos puede aceptar mirar este blog

porque sois mi próximo en ser yo un dios del universo.

El Bien vos puede aceptar mirar este blog

aunque quizás sois mi próximo en ser yo un dios del universo.

Principio:

[Ex(t)][ L(u,v,t) = x(t)·pE_{g}·h·( e^{iau}+e^{iav} ) ]

[Ey(t)][ L(v,u,t) = y(t)·pE_{e}·h·( e^{iav}+e^{iau} ) ]

Ley:

d_{u}[ L(u,v,t) ]+d_{v}[ L(u,v,t) ] = ia·L(u,v,t)

d_{v}[ L(v,u,t) ]+d_{u}[ L(v,u,t) ] = ia·L(v,u,t)

Ley:

L(u,v,t) = ( (l/c)^{2}·V·(1/t) )·pE_{g}·h·( e^{iau}+e^{iav} )

L(v,u,t) = ( (l/c)^{2}·V·(1/t) )·pE_{e}·h·( e^{iav}+e^{iau} )

Ley:

int[ L(u,v,wt) ]d[wt] = (-1)·( h/(qg) )·pE_{g}·h·( e^{iau}+e^{iav} ) <==> ...

... t = (1/w)·e^{(-1)·( h/(qg) )·(1/V)·(c/l)^{2}}

int[ L(v,u,wt) ]d[wt] = ( h/(qg) )·pE_{e}·h·( e^{iav}+e^{iau} ) <==> ...

... t = (1/w)·e^{( h/(qg) )·(1/V)·(c/l)^{2}}

Definición: [ de medida exterior métrica ]

Sea E una topología y m(A,B) una métrica

M(A [ || ] B) = H( m(A,B) ) [< M(A)+M(B)

m(A,B) >] 0

Sea ¬E una topología y m(¬A,¬B) una métrica

M(¬A [&] ¬B) = H( m(¬A,¬B) ) >] M(¬A)+M(¬B)

m(¬A,¬B) [< (-0)

Teorema: [ de Caratheodory ]

Sea ( A_{k} = { x€A : m(x,B) >] (1/k) } & lim[k = oo][ A_{k} ] = A ) ==> 

Si M(A [ || ] B) = (-1)·m(A,B) ==> M(A) es una medida exterior métrica

Sea ( ¬A_{k} = { x€¬A : m(x,¬B) [< (-1)·(1/k) } & lim[k = oo][ ¬A_{k} ] = ¬A ) ==> ...

Si M(¬A [&] ¬B) = (-1)·m(¬A,¬B) ==> M(¬A) es una medida exterior métrica

Demostración:

m(A,B) = lim[k = oo][ m(A_{k},B) ] >] lim[k = oo][ (1/k) ] = 0

M(A [ || ] B) = (-1)·m(A,B) [< (-0) [< (-1)·m(A,A)+(-1)·m(B,B) = M(A)+M(B) 

Teorema:

Sea P({a,b}) = { 0 , {a} , {b} , {a,b} } una topología ==>

Sea m(A,B) = max{ r : x€A & y€B & r = | f(x)+(-1)·f(y) | } ==> ...

... Si M(A [ || ] B) = (-1)·m(A,B) ==> M(A) es una medida exterior métrica

Sea ¬P(}a,b{) = { not(0) , }a{ , }b{ , }a,b{ } una topología ==>

Sea m(¬A,¬B) = min{ r : x€¬A & y€¬B & r = | ( f(x)+(-1)·f(y) )·i | } ==> ...

... Si M(¬A [&] ¬B) = (-1)·m(¬A,¬B) ==> M(¬A) es una medida exterior métrica

Demostración:

|f(b)+(-1)·f(a)| = |f(a)+(-1)·f(b)| > 0 = |f(a)+(-1)·f(a)| = |f(b)+(-1)·f(b)|

m(A,B) = |f(b)+(-1)·f(a)| = |f(a)+(-1)·f(b)| > 0

M(A [ || ] B) = (-1)·m(A,B) = (-1)·|f(b)+(-1)·f(a)| [< ...

... (-1)·|f(b)+(-1)·f(a)|+(-1)·|f(b)+(-1)·f(b)| = (-1)·m(A,A)+(-1)·m(B,B) = M(A)+M(B)

m(x,y) es métrica:

m(x,x) = |f(x)+(-1)·f(x)| = 0

m(x,y) = |f(x)+(-1)·f(y)| = |(-1)·( f(x)+(-1)·f(y) )| = |(-1)|·|f(x)+(-1)·f(y)| = |f(y)+(-1)·f(x)| = m(y,x)

m(x,y) = |f(x)+(-1)·f(y)| = |f(x)+(-1)·f(z)+f(z)+(-1)·f(y)| [< ...

... |f(x)+(-1)·f(z)|+|f(z)+(-1)·f(y)| = m(x,z)+m(z,y)

Teorema:

Sea P({a,b}) = { 0 , {a} , {b} , {a,b} } una topología ==>

Sea m(A,B) = max{ r : x€A & y€B & r = | int[t = y]-[x][ f(t) ]d[t] | } ==> ...

... Si M(A [ || ] B) = (-1)·m(A,B) ==> M(A) es una medida exterior métrica

Sea ¬P(}a,b{) = { not(0) , }a{ , }b{ , }a,b{ } una topología ==>

Sea m(¬A,¬B) = min{ r : x€¬A & y€¬B & r = | ( int[t = y]-[x][ f(t) ]d[t] )·i | } ==> ...

... Si M(¬A [&] ¬B) = (-1)·m(¬A,¬B) ==> M(¬A) es una medida exterior métrica

Demostración:

| int[t = a]-[b][ f(t) ]d[t] | = | int[t = b]-[a][ f(t) ]d[t] | > 0 = ...

... | int[t = a]-[a][ f(t) ]d[t] | = | int[t = b]-[b][ f(t) ]d[t] |

m(A,B) = | int[z = a]-[b][ f(t) ]d[t] | = | int[z = b]-[a][ f(t) ]d[t] | > 0

M(A [ || ] B) = (-1)·m(A,B) = (-1)·| int[t = a]-[b][ f(t) ]d[t] | [< ...

... (-1)·| int[t = a]-[b][ f(t) ]d[t] |+(-1)·| int[t = b]-[b][ f(t) ]d[t] | = ...

... (-1)·m(A,A)+(-1)·m(B,B) = M(A)+M(B)

m(x,y) es métrica:

m(x,x) = | int[t = x]-[x][ f(t) ]d[t] | = 0

m(x,y) = | int[t = y]-[x][ f(t) ]d[t] | = | (-1)·( int[t = x]-[y][ f(t) ]d[t] ) | = ...

... |(-1)|·| int[t = x]-[y][ f(t) ]d[t] | = | int[t = x]-[y][ f(t) ]d[t] | = m(y,x)

m(x,y) = | int[t = y]-[x][ f(t) ]d[t] | = | int[t = z]-[x][ f(t) ]d[t]+int[t = y]-[z][ f(t) ]d[t] | [< ...

... | int[t = z]-[x][ f(t) ]d[t] |+| int[t = y]-[z][ f(t) ]d[t] | = m(x,z)+m(z,y)

Teorema:

Sea P({a,b}) = { 0 , {a} , {b} , {a,b} } una topología ==>

Sea m(A,B) = ...

... max{ r : x€A & y€B & r = | (1/2)·|f(x)+(-1)·f(y)|+(1/2)·|f(y)+(-1)·f(x)| | } ==> ...

... Si M(A [ || ] B) = (-1)·m(A,B) ==> M(A) es una medida exterior métrica

Sea ¬P(}a,b{) = { not(0) , }a{ , }b{ , }a,b{ } una topología ==>

Sea m(¬A,¬B) = ...

... min{ r : x€¬A & y€¬B & r = | ( (1/2)·|f(x)+(-1)·f(y)|+(1/2)·|f(y)+(-1)·f(x)| )·i | } ==> ...

... Si M(¬A [&] ¬B) = (-1)·m(¬A,¬B) ==> M(¬A) es una medida exterior métrica

Demostración:

Examen.

Teorema: [ de compatificación de Alexandrov de los números enteros ]

N [<< [0]_{m} [ || ] ...(m)... [ || ] [m+(-1)]_{m}

¬N >>] ]0[_{m} [&] ...(m)... [&] ]m+(-1)[_{m}

Teorema: [ de compatificación de Alexandrov de los polinomios enteros ]

P[x] [<< [x^{0}]_{x^{m}} [ || ] ...(m)... [ || ] [x^{m+(-1)}]_{x^{m}}

P[(1/x)] >>] ]x^{0}[_{x^{m}} [&] ...(m)... [&] ]x^{m+(-1)}[_{x^{m}}

Teorema: [ de compatificación de Alexandrov de los números reales ]

R [<< [ [0]_{m},[1]_{m} ]_{R} [ || ] ...(m)... [ || ] [ [m+(-1)]_{m},[0]_{m} ]_{R}

¬R >>] ] ]0[_{m},]1[_{m} [_{R} [&] ...(m)... [&] ] ]m+(-1)[_{m},]0[_{m} [_{R}

Teorema:

a_{n} es compacta <==> [Ea_{n_{k}}][ a_{n_{k}} es de Cauchy ]

Demostración:

rec(a_{n}) [<< { a_{[0]_{m}} } [ || ] ...(m)... [ || ] { a_{[m+(-1)]_{m}} }

Sea s > 0 ==>

| a_{mk+r}+(-1)·a_{mj+r} | = | a_{[r]_{m}}+(-1)·a_{[r]_{m}}| = 0 < s

Sea m = r ==>

rec(a_{n}) [<< { a_{[0]_{m}} } [ || ] ...(m)... [ || ] { a_{[m+(-1)]_{m}} }

Teoremas de demostración: [ de las siguientes integrales impropias ]

Hôpital-Bernoulli integral

Hôpital-Garriga

Teorema: [ de Hôpital-Garriga con constante ]

Sea lim[x = oo][ g(x) = oo ] ==>

lim[x = oo][ ( f(x) /o(x)o/ d_{x}[g(x)]+c )·d[x] ] = ...

... lim[x = oo][ ( f(x) /o(x)o/ ( d_{xx}[g(x)]+c·(1/d[x]) ) ) ]= lim[x = oo][ ( f(x) /o(x)o/ g(x) ) ]

Teorema:

Sea n >] 1 ==>

int[x = 0]-[oo][ ( 1/(1+x^{2n+1}) ) ]d[x] = ( ln(2)+ln(n+1) )·( 1/(2n)! )

int[x = 0]-[oo][ ( 1/(1+x^{3}) ) ]d[x] = ln(2)

Demostración:

int[x = 0]-[oo][ ( 1/(1+x^{2n+1}) ) ]d[x] = ln(1+x^{2n+1}) [o(x)o] ( x /o(x)o/ x^{2n+1} )

Teorema:

Sea n >] 1 ==>

int[x = 0]-[oo][ ( 1/(1+x^{2n}) ) ]d[x] = (pi/2)·(1/n!)

int[x = 0]-[oo][ ( 1/(1+x^{2}) ) ]d[x] = (pi/2)

Demostración:

int[x = 0]-[oo][ ( 1/(1+x^{2n}) ) ]d[x] = arc-tan(x^{n}) [o(x)o] ( x /o(x)o/ x^{n} )

Teorema:

Sea n >] 1 ==>

int[x = 0]-[oo][ ( 1/( a_{n}·x+(n+2)^{x} ) ) ]d[x] = ln(n+2)·( 1/( a_{n}+n! ) )

Sea ( n = 1 & a_{n} = 1 ) ==> 

int[x = 0]-[oo][ ( 1/( x+3^{x} ) ) ]d[x] = (1/2)·ln(3)

Demostración:

int[x = 0]-[oo][ ( 1/( a_{n}·x+(n+2)^{x} ) ) ]d[x] = ...

... ln( a_{n}·x+(n+2)^{x} ) [o(x)o] ( x /o(x)o/ ( a_{n}·x+(n+2)^{x} ) )

lim[x = oo][ ( oo·ln(n+2) ) [o(x)o] ( x /o(x)o/ ( oo·a_{n}+oo·x^{n} ) ) ] = ...

... ln(n+2) [o(oo)o] ( 1 /o(oo)o/ ( a_{n}+n! ) )

Teorema:

Sea n >] 1 ==>

int[x = 0]-[oo][ ( 1/( x^{n}+(n+2)^{x} ) ) ]d[x] = ln(n+2)·( 1/( (n+(-1))!+n! ) )

Sea n = 1 ==>

int[x = 0]-[oo][ ( 1/( x+3^{x} ) ) ]d[x] = (1/2)·ln(3)

Demostración:

int[x = 0]-[oo][ ( 1/( x^{n}+(n+2)^{x} ) ) ]d[x] = ...

... ln( x^{n}+(n+2)^{x} ) [o(x)o] ( x /o(x)o/ ( x^{n}+(n+2)^{x} ) )

lim[x = oo][ ( oo·ln(n+2) ) [o(x)o] ( x /o(x)o/ ( oo·x^{n+(-1)}+oo·x^{n} ) ) ] = ...

... ln(n+2) [o(oo)o] ( 1 /o(oo)o/ ( (n+(-1))!+n! ) )

Teorema:

Sea n >] 1 ==>

int[x = 0]-[oo][ ( 1/( nx^{n}+(n+2)^{x} ) ) ]d[x] = ln(n+2)·(1/2)·(1/n!)

Sea n = 1 ==>

int[x = 0]-[oo][ ( 1/( x+3^{x} ) ) ]d[x] = (1/2)·ln(3)

Demostración:

int[x = 0]-[oo][ ( 1/( nx^{n}+(n+2)^{x} ) ) ]d[x] = ...

... ln( nx^{n}+(n+2)^{x} ) [o(x)o] ( x /o(x)o/ ( nx^{n}+(n+2)^{x} ) )

lim[x = oo][ ( oo·ln(n+2) ) [o(x)o] ( x /o(x)o/ ( n·oo·x^{n+(-1)}+oo·x^{n} ) ) ] = ...

... ln(n+2) [o(oo)o] ( 1 /o(oo)o/ ( n·(n+(-1))!+n! ) )

Habladurías:

Que no soy un señor de los hombres,

porque tengo la picha pequeña,

cuando el Facials-Exterior lo ves cuando rezas ver un caballo,

y son prójimo de todos los hombres y no señores.

Que no soy un dios de los hombres,

porque tengo la picha pequeña,

cuando el Facials-Interior lo ves cuando rezas ver un caballo,

y es prójimo de todos los hombres y no un dios.

Teorema:

Sea n >] 1 ==>

int[x = 0]-[ln(oo)][ ( 1/( a_{n}·x+e^{(n+1)·x} ) ) ]d[x] = (n+1)·ln(2)·( 1/( a_{n}·ln(2)+n! ) )

Demostración:

e^{n·ln(2)·oo} = oo^{n}

int[x = 0]-[ln(oo)][ ( 1/( a_{n}·x+e^{(n+1)·x} ) ) ]d[x] = ...

... ln( a_{n}·x+e^{(n+1)·x}) [o(x)o] ( x // ( a_{n}·x+e^{(n+1)·x} ) )

lim[x = ln(oo)][ (n+1)·ln(2)·oo [o(x)o] ( x /o(x)o/ ( a_{n}·ln(2)·oo+oo·x^{n} ) ) ] = ...

... (n+1)·ln(2) [o( ln(oo) )o] ( 1 /o( ln(oo) )o/ ( a_{n}·ln(2)+n! ) )

Examen:

Teorema:

Sea n >] 1 ==>

int[x = 0]-[ln(oo)][ ( 1/( x^{n}+e^{(n+1)·x} ) ) ]d[x] = (n+1)·ln(2)·( 1/( (n+(-1))!·ln(2)+n! ) )

Teorema:

Sea n >] 1 ==>

int[x = 0]-[ln(oo)][ ( 1/( nx^{n}+e^{(n+1)·x} ) ) ]d[x] = (n+1)·ln(2)·(1/n!)·( 1/( ln(2)+1 ) )

Ley: [ de regresión de aceite de Marihuana y de aceite de Hierva-Luisa ]

Marihuana = Destructor + Destructor = 7 extremidades de hoja.

Destructor en el presente construyendo-se = Destructor del presente

(-x)·y = (-1)·(xy)

Destructor en el pasado destruido = Constructor del pasado

(-x)·(-y) = xy

Hierva-Luisa = Constructor + Constructor

Constructor en el pasado destruido = Destructor del pasado

x·(-y) = (-1)·(xy)

Constructor en el presente construyendo-se = Constructor del presente

xy = xy

Definición: [ de cardinal ]

#A = min{ B : B es biyectivo con A }

Teorema:

#A [< A

Demostración:

#A = min{ B : B es biyectivo con A } [< { A : A es biyectivo con A } = A

Teorema:

#( m·oo ) = oo

Demostración:

Se define f(k) = mk & ...(m)... & f(mk) = mk+(m+(-1))

Teorema:

#( oo^{n} ) = oo

Demostración:

Se define f( k^{n} ) = k·2^{k}·...·n^{k}

Teorema:

#( m·oo^{n} ) = oo

Demostración:

Se define ...

... f( k^{n} ) = m·( k·2^{k}·...·n^{k} ) & ...(m)... & f( mk^{n} ) = m·( k·2^{k}·...·n^{k} )+(m+(-1))

Teorema:

#( m·(n+1)^{oo} ) = oo

Demostración:

#( m·(n+1)^{oo} ) = #( m·oo^{n} ) = oo

Definición: [ de cofinal ]

Ordinal irregular:

Cof(A) = min{ #B : #B no está acotado por A }

Ordinal regular:

Cof(A) = #A <==> #A = A

Teorema:

Si ( A irregular & #A = aleph_{n} ) ==> Cof(A) = aleph_{n+1}

Si ( A regular & #A = aleph_{n} ) ==> Cof(A) = aleph_{n}

Demostración:

aleph_{n} = #A [< A < Cof(A) = aleph_{n+1}

aleph_{n} = #A = Cof(A) = aleph_{n}

Teorema:

Cof(n) = oo

Demostración:

Se define k >] n ==>

n [< k < oo

Teorema:

Cof( m·oo^{n} ) = oo^{oo}

Demostración:

Se define k >] max{n+1,m} ==> 

m·oo^{n} [< k·oo^{k+(-1)} < oo^{oo}

Si max{n+1,m} = n+1 ==>

m [< n+1

m·oo^{n} [< (n+1)·oo^{n} < oo^{oo}

Si max{n+1,m} = m ==>

n+1 [< m <==> n [< m+(-1)

m·oo^{n} [< m·oo^{m+(-1)} < oo^{oo}

Examen de teoría de conjuntos:

Teorema:

Sea ( n >] 1 & m >] 1 )  ==>

#( (m+1)^{oo^{n+1}} ) = oo^{oo}

Cof( (m+1)^{oo^{n+1}} ) = oo^{oo^{oo}}

Ley:

Gato:

mi-mi-me.

mu-mu-ma.

Perro:

go-go-ge.

gu-gu-ga.

Humano:

gente que es.

gente que no es.

Ley:

Gato

mi-me.

mu-ma.

Perro:

go-ge.

gu-ga.

Humano:

gente descendiente de Númenor.

gente no descendiente de Númenor.

Ley:

Gato:

mi-ma.

mi-mi-ma.

mu-me.

mu-mu-me.

Perro:

go-ga.

go-go-ga.

gu-ge.

gu-gu-ge.

Humano:

acción de amor.

reacción de amor.

acción de odio.

reacción de odio.

Teorema: [ desigualdad de Bernoulli-Garriga ]

Sea ( n€N & p€N ) ==>

Si ( n >] 2^{p}+1 & p >] 1 ) ==>

(p+1)^{n} >] n^{p}

Demostración:

Sea ( n = 3 & p = 1 ) ==>

8 >] 3

Sea ( n€N & p€N ) ==>

(p+1)^{n+1} >] (p+1)·n^{p} = p+n^{p}+p·( n^{p}+(-1) ) = ...

... p+n^{p}+p·( 1+...+n^{p+(-1)} )·(n+(-1)) >] p+n^{p}+p·( 1+...+n^{p+(-1)} ) >] (n+1)^{p}

Teorema:

lim[n = oo][ (p+1)^{n} ] = oo^{p}

Demostración:

Sea s > 0 ==>

Se define n_{0} > max{2^{p}+1,(1/s)} ==>

Sea n > n_{0} ==>

En ser más grande está más cerca de infinito:

| ( (p+1)^{n}/oo^{p} )+(-1) | = | (1/oo)^{p}·( (p+1)^{n}+(-1)·oo^{p} ) | [< ...

... | (1/oo)^{p}·( n^{p}+(-1)·oo^{p} ) | = 0p < (1/n) < (1/n_{0}) < s

Teorema:

ln(oo^{n}) = log_{2}(n+1)·ln(oo) = oo·ln(n+1)

Teorema:

lim[x = ln(oo^{s+1})][ ( 1/(s+1) )·x^{s+1} [o(x)o] (-1)·e^{(-x)} ] = (-1)·( 1/(s+1) )·( ln(s+2) )^{s}·0

Teorema:

ln(2) es irracional

Demostración:

f(k) = 1

[Ek][ Id(k) = 1 & k = 1 ]

ln(2) = (1/oo)·sum[k = 1]-[oo][ (1/k) ] = (1/oo)·sum[k = 1]-[oo][ ( 1/f(k) ) ] = (oo/oo) = 1 € Q

Teorema:

e es irracional

Demostración:

f(k!) = 1

[Ek][ Id(k!) = 1 & ( k = 1 || k = 0 ) ]

g(1) = n

[En][ Id(1) = n & n = 1 ]

h(n) = (-oo)

[En][ Id(n) = (-oo) & n = (-oo) ]

e = 1+sum[k = 1]-[oo][ (1/k!) ] = g(1)+sum[k = 1]-[oo][ ( 1/f(k!) ) ] = ...

... n+oo = h(n)+oo = (-oo)+oo = 1 € Q

topología-algebraica-medida y teoría-de-números-algebraica y música-matemática y gatos-y-perros y ley

Definición: [ de medida ]

Sea E una topología.

Axioma:

A [<< B

M(A [ || ] B) = M(A)+M(B)

<==>

M(A) = M(0)

Axioma:

¬A >>] ¬B

M(¬A [&] ¬B) = M(¬A)+M(¬B)

<==>

M(¬A) = M(E)

Definición: [ de medida exterior ]

Sea E una topología.

Axioma:

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] ) [< sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ]

M(0) >] 0

Axioma:

M( [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] ) >] sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ]

M(E) [< 0

Definición: [ de medida exterior de continuidad ]

M(h) = | m( x+h,x ) |

M(-h) = | m( x,x+(-h) )·i |

Teorema:

M(max{h_{1},...,h_{n}}) [< sum[k = 1]-[n][ M(h_{k}) ]

Demostración:

Sea h_{k} = max{h_{1},...,h_{n}} ==>

M(max{h_{1},...,h_{n}}) = | m( x+h_{k},x ) | [< ...

... | m( x+h_{1},x ) |+...+| m( x+h_{n},x ) | = sum[k = 1]-[n][ M(h_{k}) ]

Teorema:

M(min{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}}) >] sum[k = 1]-[n][ M((-1)·h_{k}) ]

Demostración:

Sea (-1)·h_{k} = min{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}} ==>

M(min{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}}) = | m( x,x+(-1)·h_{k} )·i | >] ...

... | m( x,x+(-1)·h_{1} )·i |+...+| m( x,x+(-1)·h_{n} )·i | = sum[k = 1]-[n][ M((-1)·h_{k}) ]

Teorema:

M(0) >] 0

Teorema:

M(-0) [< 0

Definición: [ de medida exterior de derivada ]

M(h) = | (1/h)·m( x+h,x ) |

M(-h) = | (1/h)·m( x,x+(-h) )·i |

Definición: [ de medida de Lebesgue-Stieljes-Garriga ]

M( [a,b]_{R},f(x),g(x) ) = f(b)+(-1)·g(a)

M( ]a,b[_{R},f(x),g(x) ) = g(a)+(-1)·f(b)

M( [a,b]_{R} [ || ] ]c,d[_{R},f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R},f(x),g(x) )+M( ]c,d[_{R},f(x),g(x) )

M( [a,b]_{R} [&] ]c,d[_{R},f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R},f(x),g(x) )+M( ]c,d[_{R},f(x),g(x) )

Teorema:

M( 0,f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R} [&] ]a,b[_{R},f(x),g(x) ) = 0

Teorema:

M( E,f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R} [ || ] ]a,b[_{R},f(x),g(x) ) = 0

Teorema:

Si [a,b]_{R} [<< [c,d]_{R} ==>

M( [a,b]_{R} [ || ] [c,d]_{R},f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R},f(x),g(x) )+M( [c,d]_{R},f(x),g(x) )

<==>

M( [a,b]_{R},f(x),g(x) ) = 0

Teorema:

Si ]a,b[_{R} >>] ]c,d[_{R} ==>

M( ]a,b[_{R} [&] ]c,d[_{R},f(x),g(x) ) = M( ]a,b[_{R},f(x),g(x) )+M( ]c,d[_{R},f(x),g(x) )

<==>

M( ]a,b[_{R},f(x),g(x) ) = 0

Laboratorio de problemas:

Teorema:

M( [a,b]_{R},x+a,x+b ) = 0

M( ]a,b[_{R},x+a,x+b ) = 0

Teorema: [ de Lebesgue-Stieljes ]

M( [(-a),a]_{R},x^{2n} ) = 0

M( ](-a),a[_{R},x^{2n} ) = 0

Definición: [ de medida de Probabilidad-Kolmogorov ]

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ {a_{k}} ] ) = sum[k = 1]-[n][ M({a_{k}}) ] = 1

M( [&]-[k = 1]-[n][ }a_{k}{ ] ) = 1+(-1)·sum[k = 1]-[n][ M({a_{k}}) ] = 0

Teorema:

M(0) = 0

Teorema:

M(E) = 1

Teorema:

Si 0 [<< {a_{k}} ==>

M(0 || {a_{k}} ) = M(0)+M({a_{k}})

<==>

M(0) = 0

Teorema:

Si E >>] }a_{k}{ ==>

M(E [&] }a_{k}{) = 1+(-1)·( M(0)+M({a_{k}}) )

<==>

M(E) = 1

Definición:

x^{n+1}+y^{n+1} = z^{n+1} es resoluble por enteros <==> ...

... [Az][Ex][Ey][Em][ (m/2)·( x^{n}+y^{n} ) = z^{n} ==> ( m€Z & x,y,z € Z ) ]

Teorema:

x+y = z es resoluble por enteros

Demostración:

Se define m = 1 ==>

(m/2)·(1+1) = 1

Teorema:

x^{2}+y^{2} = z^{2} es resoluble por enteros

Demostración:

Se define m = 2 ==>

Sea n € Z ==>

Se define x = z+(-n)

Se define y = n 

(m/2)·(x+y) = z

( x = 3 & y = 4 & z = 5 )

Teorema: [ de Fermat-Wiles ]

x^{n+1}+y^{n+1} = z^{n+1} es irresoluble por enteros <==> n >] 3 

Demostración:

Homología deformable de Galois:

A_{n} = [ f_{n} : ...

... n·{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n ==> f(k) = k ] } ...

... ---> ...

... (n+1)·{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n+1 ==> f(k) = k ] } ...

... ]_{n}

B_{n} = [ g_{n} : x^{n}+y^{n} = z^{n} ---> x^{n+1}+y^{n+1} = z^{n+1} ]_{n}

f(z^{f(k)+1}) = f(z^{k+1}) = z·z^{k} = z^{k+1} = z^{f(k)+1}

g(z^{k+1}) = x^{k+1} & h(z^{k+1}) = y^{k+1}

n·#{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n ==> f(k) = k ] } > 2·(n+1)+1 <==> n >] 3

Definición:

(1/x)^{n+1}+(1/y)^{n+1} = (1/z)^{n+1} es resoluble por racionales <==> ...

... [Az][Ex][Ey][Em][ (m/2)·( (1/x)^{n}+(1/y)^{n} ) = (1/z)^{n} ==> ( m€Z & x,y,z € Q ) ]

Teorema:

(1/x)+(1/y) = (1/z) es resoluble por racionales

Demostración:

Se define m = 1 ==>

(m/2)·(1+1) = 1

Teorema:

(1/x)^{2}+(1/y)^{2} = (1/z)^{2} es resoluble por racionales

Demostración:

Se define m = 2 ==>

Se define x = 2z ==>

Se define y = 2z ==>

(m/2)·((1/x)+(1/y)) = (1/z)

( x = 3 & y = 4 & z = (12/5) )

Teorema:

(1/x)^{n+1}+(1/y)^{n+1} = (1/z)^{n+1} es irresoluble por racionales <==> n >] 3 

Demostración:

Homología deformable de Galois:

A_{n} = [ f_{n} : ...

... n·{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n ==> f(k) = k ] } ...

... ---> ...

... (n+1)·{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n+1 ==> f(k) = k ] } ...

... ]_{n}

B_{n} = ...

... [ g_{n} : (1/x)^{n}+(1/y)^{n} = (1/z)^{n} ---> (1/x)^{n+1}+(1/y)^{n+1} = (1/z)^{n+1} ]_{n}

f((1/z)^{f(k)+1}) = f((1/z)^{k+1}) = (1/z)·(1/z)^{k} = (1/z)^{k+1} = (1/z)^{f(k)+1}

g((1/z)^{k+1}) = (1/x)^{k+1} & h((1/z)^{k+1}) = (1/y)^{k+1}

n·#{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n ==> f(k) = k ] } > 2·(n+1)+1 <==> n >] 3

Teorema:

[An][ x^{n}+y^{n} = z^{n+1} es resoluble por enteros ] 

( x = 2 & y = 2 & z = 2 )

Demostración:

B_{n} = [ g_{n} : x^{n}+y^{n} = z^{n+1} ---> x^{n+1}+y^{n+1} = z^{n+2} ]_{n}

f(z^{f(k)+1}) = f(z^{k+1}) = z·z^{k} = z^{k+1} = z^{f(k)+1}

g(z^{k+1}) = x^{k} & h(z^{k+1}) = y^{k}

k es resoluble

z^{k} es resoluble por enteros

Teorema:

[An][ (1/x)^{n}+(1/y)^{n} = (1/z)^{n+1} es resoluble por racionales ] 

( x = (1/2) & y = (1/2) & z = (1/2) )

Demostración:

Examen de teoría de números algebraica.

Sabéis las cinco habladurías que hay de mi:

Que soy homosexual,

emitiendo energía.

Que mis infieles joden a fieles,

con la cláusula.

Que soy un violador mental,

con la cláusula.

Que mato a hombres,

con la cláusula.

Que mato a extraterrestres,

con la cláusula y sin híper-espacio.

Porque no me recibíis?

Si soy al que se tiene que recibir.

Definición: [ de escalera de frecuencias de tonos de Bach-Mozart ]

< a_{k} : [0,12]_{N} ---> [1,2]_{R} & k --> a_{k} = 2^{(k/12)} >

< b_{k} : [0,12]_{N} ---> [(1/2),1]_{R} & k --> b_{k} = (1/2)^{(k/12)} >

Nota histórica:

Programé un piano con la frecuencia del speaker del ordenador.

Práctica informática:

Programar un piano o una caja de música,

con la frecuencia del speaker del ordenador.

while( música != 0 )

{

k = 0;

status = 1;

while( k != m )

{

Si status == 1 ==>

{

speaker( pow(2,(n/12)) );

status = 0;

}

k = k + tiempo-segundos-positivo(s);

}

}

while( música != not(0) )

{

k = not(0);

status = not(1);

while( k != not(m) )

{

Si status = not(1) ==>

{

speaker( pow(2,((n+6)/12)) );

status = not(0);

}

k = k + tiempo-segundos-negativo(s);

}

}

Teorema: [ del producto de dos octavas creciente de Bach-Mozart ]

Si f(k) = 2^{(k/12)} ==> prod[k = 0]-[23][ f(k) ] = 2^{23}

Teorema: [ del producto de dos octavas decreciente de Bach-Mozart ]

Si f(k) = (1/2)^{(k/12)} ==> prod[k = 0]-[23][ f(k) ] = (1/2)^{23}

Teorema: [ de la distribución creciente de Bach-Mozart ]

Si f(k) = ( 2^{(1/12)}+(-1) )·2^{(k/12)} ==> sum[k = 0]-[11][ f(k) ] = 1

Teorema: [ de la distribución decreciente de Bach-Mozart ]

Si f(k) = 2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·(1/2)^{(k/12)} ==> sum[k = 0]-[11][ f(k) ] = 1

Teorema: [ del sumatorio creciente de Bach-Mozart ]

Si f(k) = ( 2^{(1/12)}+(-1) )·2^{(k/12)} ==> ...

... sum[p = 0]-[m][ sum[k = 0+12p]-[11+12p][ f(k) ] ] = sum[p = 0]-[m][ 2^{p} ]

Teorema: [ del sumatorio decreciente de Bach-Mozart ]

Si f(k) = 2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·(1/2)^{(k/12)} ==> ...

... sum[p = 0]-[m][ sum[k = 0+12p]-[11+12p][ f(k) ] ] = sum[p = 0]-[m][ (1/2)^{p} ]

Definición: [ de medida exterior de Bach-Mozart ]

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ 2^{(m_{k}/12)} ] ) = ...

... min{ sig( h(k+1) > h(k) )·( 2^{(1/12)}+(-1) )·2^{(m_{k}/12)} : 1 [< k [< n }

M( [&]-[k = 1]-[n][ (1/2)^{(m_{k}/12)} ] ) = ...

... max{ sig( h(k) > h(k+1) )·2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·(1/2)^{(m_{k}/12)} : 1 [< k [< n }

Teorema:

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ 2^{(m_{k}/12)} ] ) [< sum[k = 1]-[n][ M(2^{(m_{k}/12)}) ]

Demostración:

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ 2^{(m_{k}/12)} ] ) = ( 2^{(1/12)}+(-1) )·2^{(m_{i}/12)} [< ...

... ( 2^{(1/12)}+(-1) )·( 2^{(m_{1}/12)}+...+2^{(m_{n}/12)} ) = ...

... sum[k = 1]-[n][ M(2^{(m_{k}/12)}) ]

Teorema:

M( [&]-[k = 1]-[n][ (1/2)^{(m_{k}/12)} ] ) >] sum[k = 1]-[n][ M((1/2)^{(m_{k}/12)}) ]

Demostración:

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ (1/2)^{(m_{k}/12)} ] ) = ...

... (-1)·2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·(1/2)^{(m_{i}/12)} >] ...

... (-1)·2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·( (1/2)^{(m_{1}/12)}+...+(1/2)^{(m_{n}/12)} ) = ...

... sum[k = 1]-[n][ M((1/2)^{(m_{k}/12)}) ]

Teorema:

M(0) = ( 2^{(1/12)}+(-1) ) >] 0

Teorema:

M(E) = (-1)·2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) ) [< 0

Definición: [ de homologías de Bach-Mozart ]

A_{n} = [ f_{n} : 2^{(n/12)} ---> 2^{( (n+1)/12 )} ]_{n}

B_{m} = [ g_{m} : (1/2)^{(m/12)} ---> (1/2)^{( (m+1)/12 )} ]_{m}

Teorema:

Las homologías de Bach-Mozart están conectadas paralelamente.

Demostración:

Se define L(2^{(k/12)}) = (1/2)^{(1/12)·( m+k+(-n) )}

Teorema:

Las homologías de Bach-Mozart están conectadas cruzadamente.

Demostración:

Se define P(2^{(k/12)}) = (1/2)^{(1/12)·( m+k+(-1)·(n+1) )}

 

Se define Q(2^{(k/12)}) = (1/2)^{(1/12)·( (m+1)+k+(-n) )}

Leyes de gatos:

Ley:

ma-em.

querer estar.

me-am.

poder estar.

Ley:

mi-um.

atacar sin sonido.

mu-im.

bloquear con sonido.

Ley:

mi ma-em am mu.

mi miau ma-em em mu

Quiero estar contigo.

No quiero estar sin ti.

mu ma-em am mi.

mu miau ma-em em mi.

Quieres estar conmigo.

No quieres estar sin mi.

Ley:

mi miau ma-em am mu.

mi ma-em em mu

No quiero estar contigo.

Quiero estar sin ti.

mu miau ma-em am mi.

mu ma-em em mi.

No quieres estar conmigo.

Quieres estar sin mi.

Ley:

mi im mu.

mi miau um mu.

Yo dentro de ti.

Yo no fuera de ti.

Te amo.

mu im mi.

mu miau um mi.

Tú dentro de mi.

Tú no fuera de mi.

Ley:

ma-em am me-me-ma.

Querer estar con menjar.

ma-em am ma-ma-me.

Querer estar con bebida.

Ley:

ma-em am mi-mi-mu.

Querer estar con un palito de carne.

ma-em am mu-mu-mi.

Querer estar con un palito de pescado.

Ley:

meu im ma.

caca dentro de ella.

mau im me.

pipi dentro de él.

Leyes de perros:

Ley:

ga-eg.

querer estar.

ge-ag.

poder estar.

Ley:

go-ug.

atacar sin sonido.

gu-og.

bloquear con sonido.

Ley:

go ga-eg ag gu.

go goau ga-eg eg gu.

Quiero estar contigo.

No quiero estar sin ti.

gu ga-eg ag go.

gu goau ga-eg eg go

Quieres estar conmigo.

No quieres estar sin mi.

Ley:

go goau ga-eg ag gu.

go ga-eg eg gu.

No quiero estar contigo.

Quiero estar sin ti.

gu goau ga-eg ag go.

gu ga-eg eg go.

No quieres estar conmigo.

Quieres estar sin mi.

Ley:

go og gu.

go goau ug gu.

Yo dentro de ti.

Yo no fuera de ti.

Te amo.

gu og go.

gu goau ug go.

Tú dentro de mi.

Tú no fuera de mi.

Ley:

ga-eg ag ge-ge-ga.

Querer estar con menjar.

ga-eg ag ga-ga-ge.

Querer estar con bebida.

Ley:

ga-eg ag go-go-gu.

Querer estar con un palito de carne.

ga-eg ag gu-gu-go.

Querer estar con un palito de pescado.

Ley:

geu og ga.

caca dentro de ella.

gau og ge.

pipi dentro de él.

Clásico:

cagar [o] cagar

pishar [o] pijar

Axioma-Bíblico:

Ama al próximo como a ti mismo.

Ama al prójimo como no a ti mismo.

Ley:

Se puede comprar al prójimo pagando.

Se puede vender al prójimo cobrando.

Ley:

Se puede utilizar en el prójimo pagando.

Se puede ceder al prójimo cobrando.

Ley:

Invitar a un café al prójimo es ilegal,

porque se utiliza el bar del prójimo sin pagar.

Invitar a un café del prójimo es ilegal,

porque se cede el bar al prójimo sin cobrar.

Ley:

Se puede contratar al prójimo pagando.

Se puede trabajar en el prójimo cobrando.

Examen de veterinario:

Traducid a perro la siguiente medicación:

Ley:

mi miau me-am am mu.

No puedo estar contigo.

mu miau me-am am mi.

No puedes estar conmigo.

Anexo:

Querer estar es lenguaje de gato o perro.

Poder estar es medicación de gato o perro.

Destructor:

miau:

< mi,mu,me,ma >

< im,um,em,am >

goau:

< go,gu,ge,ga >

< og,ug,eg,ag >

Definición:

[AB][ 0^{u}·M(B) [< n ] ==> u es la dimensión de Hausdorff positiva.

[A¬B][ 0^{v}·M(¬B) >] (-n) ] ==> v es la dimensión de Hausdorff negativa.

Teorema:

Si M(A) = max{ k^{p} : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = p

Si M(¬A) = min{ (-1)·k^{p} : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = p

Teorema:

Si M(A) = max{ p^{k} : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = p+(-1)

Si M(¬A) = min{ (-1)·p^{k} : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = p+(-1)

Teorema:

Si M(A) = max{ pk : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = log_{0}(1/p)+1

Si M(¬A) = min{ (-1)·pk : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = log_{0}(1/p)+1

Definición:

[AB][ oo^{u}·M(B) >] (1/n) ] ==> u es la dimensión de Hausdorff-Garriga positiva.

[A¬B][ oo^{v}·M(¬B) [< (-1)·(1/n) ] ==> v es la dimensión de Hausdorff-Gerriga negativa.

Teorema:

Si M(A) = min{ (1/k)^{p} : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = p

Si M(¬A) = max{ (-1)·(1/k)^{p} : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = p

Teorema:

Si M(A) = min{ (1/p)^{k} : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = p+(-1)

Si M(¬A) = max{ (-1)·(1/p)^{k} : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = p+(-1)

Teorema:

Si M(A) = max{ p·(1/k) : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = log_{oo}(1/p)+1

Si M(¬A) = min{ (-1)·p·(1/k) : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = log_{oo}(1/p)+1

Habladuría:

Que los extraterrestres son dioses de los hombres.

Corrección:

Los dioses de los hombres son hombres.

Habladuría:

Que los extraterrestres son dioses del universo.

Corrección:

Hay un dios del universo hombre.

Habladuría:

Que los extraterrestres han construido los templos de piedra,

Corrección:

Los templos de piedra los han construido los hombres.

Teorema:

Sea m(x,x) = 0 ==>

Si M(h) = | m(x+h,x) | ==> M(h) es una medida exterior continua

Si M(-h) = | m(x,x+(-h))·i | ==> M(-h) es una medida exterior continua

Demostración:

M(min{h_{1},...,h_{n}}) = | m(x+h_{k},x) | [< sum[k = 1]-[n][ M(h_{k}) ]

M(max{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}}) = | m(x,x+(-1)·h_{k})·i | >] sum[k = 1]-[n][ M((-1)·h_{k}) ]

M(0) = | m(x+0,x) | = | m(x,x) | = 0 >] 0

[As][ s > 0 ==> M(0) < s ]

M(E) = | m(x,x+(-0))·i | = | m(x,x)·i | = (-0) [< 0 

[A(-s)][ (-s) < 0 ==> M(E) > (-s) ]

Teorema:

Sea m(x,x) = 0 ==>

Si M(h) = | h·2n+m(x+h,x) | ==> M(h) es una medida exterior continua

Si M(-h) = | ( (-h)·2n+m(x,x+(-h)) )·i | ==> M(-h) es una medida exterior continua

Demostración:

M(min{h_{1},...,h_{n}}) = | h_{k}·2n+m(x+h_{k},x) | [< ...

... sum[k = 1]-[n][ M(h_{k}) ]

M(max{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}}) = | ( (-1)·h_{k}·2n+m(x,x+(-1)·h_{k}) )·i | >] ...

... sum[k = 1]-[n][ M((-1)·h_{k}) ]

M(0) = | 0·2n+m(x+0,x) | = | 0·2n+m(x,x) |  = | 0·2n+0 | = | 0·(2n+1) | = 0 >] 0

[As][ s > 0 ==> M(0) < s ]

M(E) = | ( (-0)·2n+m(x,x+(-0)) ) i | = | ( (-0)·2n+m(x,x) ) i | = ...

... | ( (-0)·2n+0 )·i | = | 0·(2n+1)·i | = (-0) [< 0

[A(-s)][ (-s) < 0 ==> M(E) > (-s) ]

Teorema:

Si M(a+(-x)) = f(a)+(-1)·f(x) ==> M(a+(-x)) es una medida continua x = a

Si M((-a)+(-x)) = f(a)+(-1)·f(-x) ==> M((-a)+(-x)) es una medida continua (-x) = a

Demostración:

a+(-x) = 0 ==> x = a ==> ...

... M(0) = ( f(a)+(-1)·f(a) ) = 0

(-x)+(-a) = (-0) ==> (-x) = a ==> ...

... M(-0) = ( f(a)+(-1)·f(a) ) = (-0)

Sea a [< b ==>

M(b+(-x)) = M(max{b+(-x),a+(-x)}) = M(b+(-x))+M(a+(-x))

<==> 

M(a+(-x)) = 0

Sea (-a) >] (-b) ==>

M((-b)+(-x)) = M(min{(-b)+(-x),(-a)+(-x)}) = M((-b)+(-x))+M((-a)+(-x))

<==>

M((-a)+(-x)) = (-0)

Sea s > 0 ==>

Si x+(-a) = 0 ==> 

x = a ==> 

M(0) = 0 < s

Sea (-s) < 0 ==>

Si x+(-a) = (-0) ==> 

x = a ==>

M(-0) = (-0) > (-s)

Teorema:

Sea B(a+(-x),r) = { r : a+(-x) [< r }

Sea ¬B((-a)+(-x),(-r)) = { (-r) : (-a)+(-x) >] (-r) }

M({a+(-x)}) = f(a)+(-1)·f(x)

M({(-a)+(-x)}) = f(a)+(-1)·f(-x)

Si W({x}) = M( {a+(-x)} [&] B(a+(-x),r) ) ==> ...

... W({x}) es una medida continua en x = a

Si W({(-x)}) = M( {(-x)+(-a)} [&] ¬B((-x)+(-a),(-r)) ) ==> ...

... W({(-x)}) es una medida continua en (-x) = a

Demostración:

a+(-x) = 0 ==> x = a ==> ...

... M({0}) = ( f(a)+(-1)·f(a) ) = 0

(-x)+(-a) = (-0) ==> (-x) = a ==> ...

... M({(-0)}) = ( f(a)+(-1)·f(a) ) = (-0)

Sea a [< b ==>

M({b+(-x)}) = M({ max{b+(-x),a+(-x)} }) = M({b+(-x)})+M({a+(-x)})

<==> 

M({a+(-x)}) = 0

Sea (-a) >] (-b) ==>

M({(-b)+(-x)}) = M({ min{(-b)+(-x),(-a)+(-x)} }) = M({(-b)+(-x)})+M({(-a)+(-x)})

<==> 

M({(-a)+(-x)}) = (-0)

Sea z € {a+(-x)} ==> 

z = a+(-x) ==> 

Se define r = a+(-x) ==>

z = r ==> 

z € B(a+(-x),r)

{a+(-x)} [<< B(a+(-x),r)

W({x}) = M( {a+(-x)} [&] B(a+(-x),r) ) = M({a+(-x)})

Sea s > 0 ==>

Si a+(-x) = 0 ==>

{a+(-x)} = {0}

W({a}) = M({0}) = 0 < s

Definición: [ de medida exterior métrica irregular ]

M(A) es una medida exterior.

m(A,B) > 0

M(¬A) es una medida exterior.

m(¬A,¬B) < 0

Teorema: [ de Caratheodory ]

Sea M(A) una medida exterior.

Sea A >>] B ==>

Si A_{k} = { x€A : m(x,B) > p+(1/k) } ==> ...

... ( M(A) es una medida exterior métrica irregular & lim[k = oo][ M(A_{k}) ] [< M(A)+M(B) )

Sea M(¬A) una medida exterior.

Sea ¬A [<< ¬B ==>

Si ¬A_{k} = { x€¬A : m(x,¬B) < (-p)+(-1)·(1/k) } ==> ...

... ( M(¬A) es una medida exterior métrica irregular & lim[k = oo][ M(¬A_{k}) ] >] M(¬A)+M(¬B) )

Demostración:

m(A,B) = lim[k = oo][ m(A_{k},B) ] > lim[k = oo][ p+(1/k) ] >] p >] 0

lim[k = oo][ M(A_{k}) ] = M(A) = M(A [ || ] B) [< M(A)+M(B)

Definición: [ de medida exterior métrica regular ]

M(A) es una medida exterior.

m(A,B) [< oo 

M(¬A) es una medida exterior.

m(¬A,¬B) >] (-oo)

Teorema: [ de Caratheodory-Garriga ]

Sea M(A) una medida exterior.

Si ( A_{k} = { x€A : m(x,C) [< (1/2)·k } & B_{k} = { x€B : m(x,C) [< (1/2)·k } ) ==> ...

... M(A) es una medida exterior métrica regular

Sea M(¬A) una medida exterior.

Si ( ¬A_{k} = { x€¬A : m(x,¬C) >] (1/2)·(-k) } & ¬B_{k} = { x€¬B : m(x,¬C) >] (1/2)·(-k) } ) ==> ...

... M(¬A) es una medida exterior métrica regular

Demostración:

m(A,B) = lim[k = oo][ m(A_{k},B_{k}) ] [< lim[k = oo][ m(A_{k},C)+m(B_{k},C) ] [< ...

... lim[k = oo][ (1/2)·k+(1/2)·k ] = lim[k = oo][ k ] = oo

topología-algebraica-medida y homología-algebraica y topología y Álgebra-polinomios

Definición: [ de medida exterior ]

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] ) [< sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ]

M( [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] ) >] sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ]

Teorema:

M(0) >] 0

Demostración:

M(A) = M(A [ || ] 0) [< M(A)+M(0)

0 [< M(0)

Teorema:

M(E) [< 0

Demostración:

M(A) = M(A [&] E) >] M(A)+M(E)

0 >] M(E)

Definición: [ de medida exterior de recubrimiento ]

M(A) = min{ sum[k = 1]-[n][ M(E_{k}) ] : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ E_{k} ] }

M(¬A) = max{ sum[k = 1]-[n][ M(¬E_{k}) ] : ¬A >>] [&]-[k = 1]-[n][ ¬E_{k} ] }

Teorema:

M(0) >] 0

Demostración

A [<< A = A [ || ] 0 

M(A) = min{ M(A)+M(0) } [< M(A)+M(0)

Teorema:

M(E) [< 0

Demostración

¬A >>] ¬A = ¬A [&] E 

M(A) = max{ M(A)+M(E) } >] M(A)+M(E)

Teorema:

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] ) [< sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ]

Demostración:

A = [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] 

A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] 

M(A) = min{ sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ] } [< sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ]

Teorema:

M( [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] ) >] sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ]

Demostración:

¬A = [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] 

¬A >>] [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] 

M(¬A) = max{ sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ] } >] sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ]

Teorema: [ de existencia de la conexión cruzada de homologías ]

Sean ( A_{n} = [ f_{n}: a_{n} ---> a_{n+1} ]_{n} & B_{m} = [ g_{m}: b_{m} ---> b_{m+1} ]_{m} )

[EP][EQ][ P(a_{n+1}) = b_{m} & Q(a_{n}) = b_{m+1} ]

[Eu][Ev][ u(a_{m+1}) = a_{n} & v(b_{m}) = a_{n+1} ]

Demostración:

Se define P(a_{k}) = b_{m+k+(-1)·(n+1)}

Se define Q(a_{k}) = b_{(m+1)+k+(-n)}

Teorema: [ de existencia de la conexión paralela de homologías ]

Sean ( A_{n} = [ f_{n}: a_{n} ---> a_{n+1} ]_{n} & B_{m} = [ g_{m}: b_{m} ---> b_{m+1} ]_{m} )

[EL][ L(a_{n}) = b_{m} & L(a_{n+1}) = b_{m+1} ]

[EH][ H(a_{m}) = a_{n} & H(b_{m+1}) = a_{n+1} ]

Demostración:

Se define L(a_{k}) = b_{m+k+(-n)}

Definición: [ de trapecio de homología ]

Sea A_{n} = [ f_{n}: a_{n} ---> a_{n+1} ]_{n}

[Eh_{1}]...[Eh_{m}][ ( h_{m} o...(m)...o h_{1} )(a_{n}) = a_{n+1} ]

Teorema:

Sea A_{n} = [ f_{n}: a_{n} ---> a_{n+1} ]_{n}

[Eh][ ( h o...(m)...o h )(a_{n}) = a_{n+1} ]

Demostración:

Se define h(a_{k}) = a_{k+(1/m)}

Teorema: [ del triángulo de homología ]

Sea A_{n} = [ f_{n}: a_{n} ---> a_{n+1} ]_{n}

[Eh_{1}][Eh_{2}][ ( h_{2} o h_{1} )(a_{n}) = a_{n+1} ]

Demostración:

Se define h_{1}(a_{k}) = a_{k+(1/m)}

Se define h_{2}(a_{k}) = a_{k+1+(-1)·(1/m)}

Teorema:

Sea A_{n} = [ f_{n}: a_{n} ---> a_{n+1} ]_{n}

[Eh_{1}][Eh_{2}][ ( h_{2} o h_{1} o ...(k)...o h_{2} o h_{1} )(a_{n}) = a_{n+1} ]

Demostración:

Examen de homología algebraica.

Teorema:

Sea A_{n} = [ f_{n}: a_{n} ---> a_{n+1} ]_{n}

[Eh_{1}][Eh_{2}][ ( h_{2} o ...(k)... o h_{2} o h_{1} )(a_{n}) = a_{n+1} ]

Demostración:

Examen de homología algebraica.

Teorema: [ de compactificación de homología ]

Sea A_{n} = [ f_{n}: a_{n} ---> a_{n+1} ]_{n}

[EB_{n}][ B_{n} = [ g_{n}: b_{[r]_{m}} ---> b_{[r+1]_{m}} ]_{n} & ...

... A_{n} y B_{n} están conectadas paralelamente ]

Demostración:

Sea n = mk+r ==> ...

Se define L(a_{mk+r}) = b_{[r]_{m}}

Se define H(b_{[r]_{m}}) = a_{mk+r}

Teorema:

Sea f(x) = sum[k = 0]-[oo][ ( 1/( mk+(m+(-1)) )! )·x^{mk+(m+(-1))} ]

Sea A_{n} = [ f_{n} : d_{x...x}^{n}[f(x)] ---> d_{x...x}^{n+1}[f(x)] ]_{n}

[EB_{n}][ B_{n} = [ g_{n}: b_{[r]_{m}} ---> b_{[r+1]_{m}} ]_{n} & ...

... A_{n} y B_{n} están conectadas paralelamente ]

Demostración:

Se define L( sum[k = 0]-[oo][ ( 1/(mk+r)! )·x^{mk+r} ] ) = ...

... (1/oo)·sum[k = 0]-[oo][ ( 1/[r]_{m}! )·x^{[r]_{m}} ] = ( 1/[r]_{m}! )·x^{[r]_{m}}

B_{n} = [ g_{mk+r}: b_{[r]_{m}} ---> b_{[r+(-1)]_{m}} ]_{n}

g_{mk}: b_{[0]_{m}} ---> b_{[m+(-1)]_{m}}

Teorema:

Sea f(x) = sum[k = 0]-[oo][ (-1)^{k}·( 1/( mk+(m+(-1)) )! )·x^{mk+(m+(-1))} ]

Sea A_{n} = [ f_{n} : d_{x...x}^{n}[f(x)] ---> d_{x...x}^{n+1}[f(x)] ]_{n}

[EB_{n}][EC_{n}][ B_{n} = [ g_{n}: b_{[r]_{m}} ---> b_{[r+1]_{m}} ]_{n} & ...

... C_{n} = [ h_{n}: c_{[r]_{m}} ---> c_{[r+1]_{m}} ]_{n} & ...

... A_{n} y ( B_{n} [ || ] C_{n} ) están conectadas paralelamente ]

Demostración:

Se define L( sum[k = 0]-[oo][ (-1)^{k}·( 1/(mk+r)! )·x^{mk+r} ] ) = ...

... sum[k = 0]-[oo][ (-1)^{k}·( 1/[r]_{m}! )·x^{[r]_{m}} ] = ( 1/[r]_{m}! )·x^{[r]_{m}}

B_{n} = [ g_{mk+r}: b_{[r]_{m}} ---> b_{[r+(-1)]_{m}} ]_{n}

g_{mk}: b_{[0]_{m}} ---> b_{[m+(-1)]_{m}}

Sea k = p+1 ==>

Se define L( sum[p = 0]-[oo][ (-1)^{p+1}·( 1/(mp+r)! )·x^{mp+r} ] ) = ...

... sum[p = 0]-[oo][ (-1)^{p+1}·( 1/[r]_{m}! )·x^{[r]_{m}} ] = (-1)·( 1/[r]_{m}! )·x^{[r]_{m}}

C_{n} = [ h_{mk+r}: c_{[r]_{m}} ---> c_{[r+(-1)]_{m}} ]_{n}

h_{mk}: c_{[0]_{m}} ---> c_{[m+(-1)]_{m}}

Teorema:

Sea f(x) = sinh(x)

Sea A_{n} = [ f_{n} : d_{x...x}^{n}[f(x)] ---> d_{x...x}^{n+1}[f(x)] ]_{n}

[EB_{n}][ B_{n} = [ g_{n}: b_{[r]_{m}} ---> b_{[r+1]_{m}} ]_{n} & ...

... A_{n} y B_{n} están conectadas paralelamente ]

Demostración:

Examen de homología algebraica.

Teorema:

Sea f(x) = sin(x)

Sea A_{n} = [ f_{n} : d_{x...x}^{n}[f(x)] ---> d_{x...x}^{n+1}[f(x)] ]_{n}

[EB_{n}][EC_{n}][ B_{n} = [ g_{n}: b_{[r]_{m}} ---> b_{[r+1]_{m}} ]_{n} & ...

... C_{n} = [ h_{n}: c_{[r]_{m}} ---> c_{[r+1]_{m}} ]_{n} & ...

... A_{n} y ( B_{n} [ || ] C_{n} ) están conectadas paralelamente ]

Demostración:

Examen de homología algebraica.

Teorema: 

Sea A_{n} = [ f_{n} : ( (mk)!/d_{x...x}^{n}[x^{mk}] ) ---> ( (mk)!/d_{x...x}^{n+1}[x^{mk}] ) ]_{n}

[EB_{n}][ B_{n} = [ g_{n}: b_{[r]_{m}} ---> b_{[r+1]_{m}} ]_{n} & ...

... A_{n} y B_{n} están conectadas paralelamente ]

Demostración:

Se define L( (mk+(-r))!/x^{mk+(-r)} ) = ([m+(-r)]_{m})!/x^{[m+(-r)]_{m}}

B_{n} = [ g_{mk+(-r)}: b_{[m+(-r)]_{m}} ---> b_{[m+(-1)+(-r)]_{m}} ]_{n}

g_{mk+(-1)·(m+(-1))}: b_{[1]_{m}} ---> b_{[m]_{m}}

Teorema:

Sea A_{n} = [ A_{1} = {a_{1}} & f_{n} : A_{n} ---> A_{n} [ || ] {a_{n+1}} ]_{n}

Sea B_{n} = [ ¬A_{1} = }a_{1}{ & g_{n} : ¬A_{n} ---> ¬A_{n} [&] }a_{n+1}{ ]_{n}

A_{n} y B_{n} están conectadas paralelamente.

Demostración:

Se define L(A) = ¬A

Axioma:

A [&] }x{ = A

{ x : x != x } [&] }x{ = { x : x != x }

Teorema:

¬A [ || ] {x} = ¬A

{ x : x = x } [ || ] {x} = { x : x = x }

Teorema:

Sea A_{n} = [ A_{1} = {a_{1}} & f_{n} : A_{n} ---> A_{n} [ || ] {a_{n+1}} ]_{n}

Sea B_{n} = [ ¬A_{1} = }a_{1}{ & g_{n} : ¬A_{n} ---> ¬A_{n} [&] }a_{n+1}{ ]_{n}

A_{n} y B_{n} están conectadas cruzadamente.

Demostración:

Se define P(A) = ¬( A [&] }a_{1}{ )

Se define Q(A) = ¬( A [ || ] {a_{1}} )

Teorema:

max{x,max{y,z}} = max{max{x,y},z}

min{x,min{y,z}} = min{min{x,y},z}

Demostración:

Sea a = max{x,max{y,z}} ==>

a >] x & a >] max{y,z}

a >] x & ( a >] y & a >] z )

( a >] x & a >] y ) & a >] z 

a >] max{x,y} & a >] z

a = max{max{x,y},z}

Teorema:

max{min{x,y},mim{x,z}} = min{x,max{y,z}}

min{max{x,y},max{x,z}} = max{x,min{y,z}}

Demostración:

Sea a = max{min{x,y},mim{x,z}}

a >] min{x,y} & a >] min{x,z}

( a >] x || a >] y ) & ( a >] x || a >] z )

a >] x || ( a >] y & a >] z )

a >] x || a >] max{y,z}

a = min{x,max{y,z}}

Teorema:

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> p^{k} € E ] ==> mcm{p^{n_{k}}} € E

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> p^{k} € E ] ==> mcd{p^{n_{k}}} € E

Demostración:

mcm{p^{n_{k}}} = p^{max{n_{k}}} € E

mcd{p^{n_{k}}} = p^{min{n_{k}}} € E

Teorema:

mcm{ p^{k},mcm{p^{n},p^{m}} } = mcm{ mcm{p^{k},p^{n}},p^{m} }

mcd{ p^{k},mcd{p^{n},p^{m}} } = mcd{ mcd{p^{k},p^{n}},p^{m} }

Teorema:

mcm{ mcd{p^{k},p^{n_{k}}},mcd{p^{k},p^{m_{k}}} } = ...

... mcd{ p^{k},mcm{p^{n_{k}},p^{m_{k}}} }

mcd{ mcm{p^{k},p^{n_{k}}},mcm{p^{k},p^{m_{k}}} } = ...

... mcm{ p^{k},mcd{p^{n_{k}},p^{m_{k}}} }

Demostración:

mcm{ mcd{p^{k},p^{n_{k}}},mcd{p^{k},p^{m_{k}}} } = ...

... mcm{ p^{min{k,n_{k}}}},p^{min{k,m_{k}}} } = ...

... p^{max{ min{k,n_{k}},min{k,m_{k}} }}

mcd{ p^{k},mcm{p^{n_{k}},p^{m_{k}}} } = mcd{p^{k},p^{max{n_{k},m_{k}}}} = 

... p^{min{ k,max{n_{k},m_{k}} }}

Teorema:

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> mp^{k} € E ] ==> mcm{mp^{n_{k}}} € E

Si [Ak][ 1 [< k [< n ==> mp^{k} € E ] ==> mcd{mp^{n_{k}}} € E

Demostración:

Examen de topología.

Definición: [ de medida exterior binaria ]

M(A) = min{ (1/k) : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] }

M(¬A) = max{ (-1)·(1/k) : ¬A >>] [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] }

Teorema:

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] ) [< sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ]

Demostración:

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] ) = M(A) = min{(1/k)} [< 1+...(n)...+(1/n) = ...

... sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ]

Teorema:

M( [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] ) >] sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ]

Demostración:

M( [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] ) = M(¬A) = max{(-1)·(1/k)} >] (-1)+...(n)...+(-1)·(1/n) = ...

... sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ]

Teorema:

M(0) >] 0

Demostración:

M(0) = min{(1/k)} = 0

M(0) >] 0 & M(0) [< 0 

Teorema:

M(E) [< 0

Demostración:

M(E) = max{(-1)·(1/k)} = 0

M(E) [< 0 & M(E) >] 0

Definición: [ de medida exterior entera ]

M(A) = min{ k : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] }

M(¬A) = max{ (-k) : ¬A >>] [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] }

Teorema:

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] ) [< sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ]

Demostración:

M( [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] ) = M(A) = min{k} [< 1+...(n)...+n = ...

... sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ]

Teorema:

M( [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] ) >] sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ]

Demostración:

M( [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] ) = M(¬A) = max{(-k)} >] (-1)+...(n)...+(-n) = ...

... sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ]

Teorema:

M(0) >] 0

Demostración:

M(0) = min{k} = 1

M(0) = 1 >] 0 

Teorema:

M(E) [< 0

Demostración:

M(E) = max{(-k)} = (-1)

M(E) = (-1) [< 0

Definición: [ de medida exterior binaria desplazada ]

M(A) = min{ p+(1/k) : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] }

M(¬A) = max{ (-p)+(-1)·(1/k) : ¬A >>] [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] }

Demostrad que es una medida exterior.

Definición: [ de medida exterior entera desplazada ]

M(A) = min{ p+k : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] }

M(¬A) = max{ (-p)+(-k) : ¬A >>] [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] }

Demostrad que es una medida exterior.

Teorema:

Si f(x) = min{ z : [Ey][ y > 0 & z = | xy+(-a) | ] } ==> | f(a) | = 0

Si f(x) = max{ z : [Ey][ y < 0 & z = | ( xy+(-a) )·i | ] } ==> | f(-a)·i | = 0

Demostración:

Sea y = 1 ==>

f(x) = min{ z : [Ey][ y > 0 & z = | xy+(-a) | ] } [< | xy+(-a) | = | x+(-a) |

0 [< | f(a) | [< | a+(-a) | = 0

Ley:

No es interesante para joder un fiel,

porque no hay reverso tenebroso,

y hay condenación.

Es interesante para joder un infiel,

porque hay el reverso tenebroso,

y no hay condenación.

Ley:

Es aburrido en el Mal,

no tener reverso tenebroso,

de joder a fieles,

porque se tiene que amar.

Es interesante en el Mal,

tener reverso tenebroso,

de joder a infieles,

porque no se tiene que amar.

Anexo:

Tendrán que amar a la próximo como a si mismo con la familia,

cocinar, lavar o vatchnar a comprar.

para tener amor.

Tendrán que amar al prójimo como no a si mismo,

estudiar y der o datchnar la energía al prójimo, 

para tener amor.

Por esto es aburrido en el Mal joder a un fiel,

porque se tiene que amar,

y no puedes ser un señor no estudiando.

Por eso es interesante en el Mal joder a un infiel,

porque no se tiene que amar,

y puedes ser un señor no estudiando.

Teorema: [ de Cardano-Tartaglia ]

Si x^{3}+ax+b = 0 ==> [Ep][Eq][ u^{6}+pu^{3}+q = 0 & v^{6}+pv^{3}+q = 0 & x = u+v ]

Demostración:

u^{3}+v^{3}+b = 0

v^{3}+u^{3}+b = 0

3uv·(u+v) = (-a)·(u+v)

Se define p = b

Se define q = (-1)·(1/27)·a^{3}

Teorema:

x^{3}+ax+b = (x+(-1)·(u+v))·(x+(-j))·(x+(-k))

Demostración:

x^{3}+ax+b = (x+(-1)·(u+v))·( x^{2}+(u+v)·x+( a+(u+v)^{2} ) )

Teorema: [ de Cardano-Ferrari de números reales ]

Si x^{4}+ax^{2}+bx+c = 0 ==> ...

... [Ep][ u^{3}+pu+b = 0 & v^{3}+pv+b = 0 & ( x = u+k || x = v+j ) ]

Demostración:

Sea x = u+v ==>

u^{4}+(a+w)·u^{2}+bu = 0

v^{4}+(a+w)·v^{2}+bv = 0

4·(uv)·( u^{2}+v^{2} ) = w·( u^{2}+v^{2} )

6·(uv)^{2}+2a·(uv)+c = 0

Se define p = a+w

Teorema: [ de Cardano-Ferrari de números imaginarios ]

Si x^{4}+ax^{2}+bx+c = 0 ==> ...

... [Ep][ u^{3}+(-p)·u+bi = 0 & v^{3}+(-p)·v+bi = 0 & ( x = ui+ki || x = vi+ji ) ]

Demostración:

Sea x = ui+vi ==>

u^{4}+(-1)·(a+w)·u^{2}+bui = 0

v^{4}+(-1)·(a+w)·v^{2}+bvi = 0

4i·(uv)·( u^{2}+v^{2} ) = w·( u^{2}+v^{2} )

(-6)·(uv)^{2}+2ai·(uv)+c = 0

Se define p = a+w

Teorema:

x^{4}+ax^{2}+bx+c = (x+(-1)·(u+j))·(x+(-1)·(v+k))·(x+(-i)·(u+j))·(x+(-i)·(v+k))

Teorema: [ de Cardano quíntico ]

Si x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d = 0 ==> ...

... [Ep][Eq][ u^{4}+pu^{2}+bu+q = 0 & v^{4}+pv^{2}+bv+q = 0 & ( x = 2u+j+k || x = 2vi+ji+ki ) ]

Demostración:

Sea x = u+v ==>

u^{5}+(a+m)·u^{3}+bu^{2}+(c+w)·u = 0

v^{5}+(a+m)·v^{3}+bv^{2}+(c+w)·v = 0

5·(uv)·( u^{3}+v^{3} ) = m·( u^{3}+v^{3} )

10·(uv)^{2}·(u+v)+3a·(uv)·(u+v) = w·(u+v)

2b·(uv)+d = 0

Se define p = a+m

Se define q = c+w

Teorema:

x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d = ( x+(-u) )·( x+(-v) )·...

... ( x^{3}+( u+v )·x^{2}+( ( a+(-1)·(uv) )+( u+v )^{2} )·x+...

... ( b+(-1)·( a·( u+v )+( u+v )^{3} ) ) = ...

Conjetura:

( a·( u+v )+( u+v )^{3} )+(uv) )·2x^{2} = 0

( (-b)·( u+v )+( a·( u+v )^{2}+( u+v )^{4} )·x = ...

... ( c+(-1)·( a·(uv)+(uv)^{2} ) )·x

( b+( a·( u+v )+( u+v )^{3} )·(uv) = d

(uv) = (1/2)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} )

Demostración:

( ( x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d ) / ( x^{2}+(-1)·( u+v )·x+(uv) ) ) = ...

... x^{3} | ...

... ( u+v )·x^{4}+( a+(-1)·(uv) )·x^{3}+bx^{2}+cx+d ...

... 

... ( u+v )·x^{2} | ...

... ( ( a+(-1)·(uv) )+( u+v )^{2} )·x^{3}+( b+(-1)·( u+v )·(uv) )·x^{2}+cx+d

... 

... ( a+(-1)·(uv)+( u+v )^{2} )·x | ...

... ( b+(-1)·( u+v )·(uv) )+(-1)·( a·( u+v )+(-1)·(uv)·( u+v )+( u+v )^{3} ) )·x^{2}+...

... ( c+(-1)·( a·(uv)+(-1)·(uv)^{2}+( u+v )^{2} )·(uv) ) )·x+d

...

... ( b+(-1)·(uv)·( u+v ) )+...

... (-1)·( a·( u+v )+(-1)·(uv)·( u+v )+( u+v )^{3} )

Teorema:

x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d = ...

... ( x^{2}+...

... (-1)·...

... ( ( c+(-a)·( (1/2)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} )+(-1)·( (1/4)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} )^{2} ) )...

... /...

... ( (-1)·( (3/2)·b+(1/2)·( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} ) ) )·x+...

... (1/2)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} ) ...

... )

... ( x^{3}+...

... ( ( c+(-a)·( (1/2)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} )+(-1)·( (1/4)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} )^{2} ) )...

... /...

... ( (-1)·( (3/2)·b+(1/2)·( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} ) ) ...

... )·x^{2}...

... +...

... ( ( a+(-1)·( (1/2)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} ) ) )+...

... ( ...

... ( c+(-a)·( (1/2)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} )+(-1)·( (1/4)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} )^{2} ) )...

... /...

... ( (-1)·( (3/2)·b+(1/2)·( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} ) ) ...

... )^{2}...

... )·x...

... +...

... ( b+(1/2)·( b+( b^{2}+(-4)·d )^{(1/2)} ) ) ...

... )

Teorema:

[Ea][Eb][ x^{5}+2x^{3}+3x^{2}+5x+4 = (x+(-a))·(x+(-b))·P_{3}(x) ]

Demostración:

Examen de Álgebra I.

Teorema: [ de Cardano síxtico ]

Si x^{6}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h = 0 ==> ...

... [Ep][Eq][Ez][Es][ ...

... u^{5}+pu^{3}+qu^{2}+zu+s = (y+(-u))·(y+(-v))·P_{3}(j) = 0 & x = u+j & ...

... v^{5}+pv^{3}+qv^{2}+zv+s = (y+(-u))·(y+(-v))·P_{3}(k) = 0 & x = v+k ]

Teorema: [ de Galois ]

Sea n >] 5 ==>

P_{n}(x) = (x+(-1)·a_{1})·...·(x+(-1)·a_{n}) <==> ...

... [Ek][ 1 [< k [< n & P_{n}(a_{k}) no es resoluble por Cardano ni cuadrática ]

Demostración:

x^{n}+a_{n+(-2)}·x^{n+(-2)}+...+a_{0} = ...

... (x+(-a))·( x^{n+(-1)}+ax^{n+(-2)}+Q(x) )

P_{3}(x) = (x+(-a))·( x^{2}+ax+c )

x^{n}+a_{n+(-2)}·x^{n+(-2)}+...+a_{0} = ...

... (x^{2}+(-1)·(u+v)·x+uv)·( x^{n+(-2)}+(u+v)·x^{n+(-3)}+Q(x) )

P_{4}(x) = (x^{2}+(-1)·(u+v)·x+uv)·( x^{2}+(u+v)·x+d )

x^{n} = x·x^{n+(-1)} punto fijo de la división

ax^{n+(-1)} = x·ax^{n+(-2)} punto fijo de la división

ax^{n+(-2)} = 0 <==> a = 0

Sea P_{n}(x) = x·P_{n+(-1)}(x) ==>

P_{n+(-1)}(x) es resoluble por Cardano <==> P_{n}(x) es resoluble por Cardano

Sea P_{n}(x) = (x+(-a))·P_{n+(-1)}(x) ==>

P_{n+(-1)}(x) no es resoluble por Cardano <==> P_{n}(x) es resoluble por cardano.

Teorema:

Si n = 5 ==> ...

... P_{5}(x) = (x+(-u))·(x+(-v))·P_{3}(x) & ( P_{3}(x) = x^{3}+ax^{2}+bx+c & a != 0 )

Teorema:

{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n ==> f(k) = k ] } es irresoluble por Cardano-Galois <==> n >] 5

Demostración:

f(a_{f(k)}·x^{f(k)}) = f(a_{k}·x^{k}) = x·a_{k}·x^{k+(-1)} = x·a_{f(k)}·x^{f(k)+(-1)}

Teorema: [ de virus de Church ]

a_{k} = ( a_{0} )^{m^{k}} es computablemente irresoluble <==> n >] 5

a_{k} = ( a_{0} )^{m^{(-k)}} es computablemente irresoluble <==> n >] 5

Demostración:

a_{f(k)} = a_{k} = ( a_{0} )^{m^{k}} = ( a_{0} )^{m^{f(k)}}

a_{0} = a_{0}

a_{f(k)} = a_{k} = ( a_{0} )^{m^{(-k)}} = ( a_{0} )^{m^{(-1)·f(k)}}

a_{0} = a_{0}

Anexo:

No penséis está sucesión del virus de Church,

porque podéis morir y no son infieles a los que matáis.

Teorema: [ de Turing ]

a_{k} = kx es computablemente resoluble

Demostración:

a_{0} = 0

Teorema: [ de Turing ]

a_{k} = x^{k} es computablemente resoluble

Demostración:

a_{0} = 1