Definición: [ de medida ]
Sea E una topología.
Axioma:
A [<< B
M(A [ || ] B) = M(A)+M(B)
<==>
M(A) = M(0)
Axioma:
¬A >>] ¬B
M(¬A [&] ¬B) = M(¬A)+M(¬B)
<==>
M(¬A) = M(E)
Definición: [ de medida exterior ]
Sea E una topología.
Axioma:
M( [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] ) [< sum[k = 1]-[n][ M(A_{k}) ]
M(0) >] 0
Axioma:
M( [&]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] ) >] sum[k = 1]-[n][ M(¬A_{k}) ]
M(E) [< 0
M(h) = | m( x+h,x ) |
M(-h) = | m( x,x+(-h) )·i |
Teorema:
M(max{h_{1},...,h_{n}}) [< sum[k = 1]-[n][ M(h_{k}) ]
Demostración:
Sea h_{k} = max{h_{1},...,h_{n}} ==>
M(max{h_{1},...,h_{n}}) = | m( x+h_{k},x ) | [< ...
... | m( x+h_{1},x ) |+...+| m( x+h_{n},x ) | = sum[k = 1]-[n][ M(h_{k}) ]
Teorema:
M(min{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}}) >] sum[k = 1]-[n][ M((-1)·h_{k}) ]
Demostración:
Sea (-1)·h_{k} = min{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}} ==>
M(min{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}}) = | m( x,x+(-1)·h_{k} )·i | >] ...
... | m( x,x+(-1)·h_{1} )·i |+...+| m( x,x+(-1)·h_{n} )·i | = sum[k = 1]-[n][ M((-1)·h_{k}) ]
Teorema:
M(0) >] 0
Teorema:
M(-0) [< 0
Definición: [ de medida exterior de derivada ]
M(h) = | (1/h)·m( x+h,x ) |
M(-h) = | (1/h)·m( x,x+(-h) )·i |
Definición: [ de medida de Lebesgue-Stieljes-Garriga ]
M( [a,b]_{R},f(x),g(x) ) = f(b)+(-1)·g(a)
M( ]a,b[_{R},f(x),g(x) ) = g(a)+(-1)·f(b)
M( [a,b]_{R} [ || ] ]c,d[_{R},f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R},f(x),g(x) )+M( ]c,d[_{R},f(x),g(x) )
M( [a,b]_{R} [&] ]c,d[_{R},f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R},f(x),g(x) )+M( ]c,d[_{R},f(x),g(x) )
Teorema:
M( 0,f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R} [&] ]a,b[_{R},f(x),g(x) ) = 0
Teorema:
M( E,f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R} [ || ] ]a,b[_{R},f(x),g(x) ) = 0
Teorema:
Si [a,b]_{R} [<< [c,d]_{R} ==>
M( [a,b]_{R} [ || ] [c,d]_{R},f(x),g(x) ) = M( [a,b]_{R},f(x),g(x) )+M( [c,d]_{R},f(x),g(x) )
<==>
M( [a,b]_{R},f(x),g(x) ) = 0
Teorema:
Si ]a,b[_{R} >>] ]c,d[_{R} ==>
M( ]a,b[_{R} [&] ]c,d[_{R},f(x),g(x) ) = M( ]a,b[_{R},f(x),g(x) )+M( ]c,d[_{R},f(x),g(x) )
<==>
M( ]a,b[_{R},f(x),g(x) ) = 0
Laboratorio de problemas:
Teorema:
M( [a,b]_{R},x+a,x+b ) = 0
M( ]a,b[_{R},x+a,x+b ) = 0
Teorema: [ de Lebesgue-Stieljes ]
M( [(-a),a]_{R},x^{2n} ) = 0
M( ](-a),a[_{R},x^{2n} ) = 0
Definición: [ de medida de Probabilidad-Kolmogorov ]
M( [ || ]-[k = 1]-[n][ {a_{k}} ] ) = sum[k = 1]-[n][ M({a_{k}}) ] = 1
M( [&]-[k = 1]-[n][ }a_{k}{ ] ) = 1+(-1)·sum[k = 1]-[n][ M({a_{k}}) ] = 0
Teorema:
M(0) = 0
Teorema:
M(E) = 1
Teorema:
Si 0 [<< {a_{k}} ==>
M(0 || {a_{k}} ) = M(0)+M({a_{k}})
<==>
M(0) = 0
Teorema:
Si E >>] }a_{k}{ ==>
M(E [&] }a_{k}{) = 1+(-1)·( M(0)+M({a_{k}}) )
<==>
M(E) = 1
Definición:
x^{n+1}+y^{n+1} = z^{n+1} es resoluble por enteros <==> ...
... [Az][Ex][Ey][Em][ (m/2)·( x^{n}+y^{n} ) = z^{n} ==> ( m€Z & x,y,z € Z ) ]
Teorema:
x+y = z es resoluble por enteros
Demostración:
Se define m = 1 ==>
(m/2)·(1+1) = 1
Teorema:
x^{2}+y^{2} = z^{2} es resoluble por enteros
Demostración:
Se define m = 2 ==>
Sea n € Z ==>
Se define x = z+(-n)
Se define y = n
(m/2)·(x+y) = z
( x = 3 & y = 4 & z = 5 )
Teorema: [ de Fermat-Wiles ]
x^{n+1}+y^{n+1} = z^{n+1} es irresoluble por enteros <==> n >] 3
Demostración:
Homología deformable de Galois:
A_{n} = [ f_{n} : ...
... n·{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n ==> f(k) = k ] } ...
... ---> ...
... (n+1)·{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n+1 ==> f(k) = k ] } ...
... ]_{n}
B_{n} = [ g_{n} : x^{n}+y^{n} = z^{n} ---> x^{n+1}+y^{n+1} = z^{n+1} ]_{n}
f(z^{f(k)+1}) = f(z^{k+1}) = z·z^{k} = z^{k+1} = z^{f(k)+1}
g(z^{k+1}) = x^{k+1} & h(z^{k+1}) = y^{k+1}
n·#{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n ==> f(k) = k ] } > 2·(n+1)+1 <==> n >] 3
Definición:
(1/x)^{n+1}+(1/y)^{n+1} = (1/z)^{n+1} es resoluble por racionales <==> ...
... [Az][Ex][Ey][Em][ (m/2)·( (1/x)^{n}+(1/y)^{n} ) = (1/z)^{n} ==> ( m€Z & x,y,z € Q ) ]
Teorema:
(1/x)+(1/y) = (1/z) es resoluble por racionales
Demostración:
Se define m = 1 ==>
(m/2)·(1+1) = 1
Teorema:
(1/x)^{2}+(1/y)^{2} = (1/z)^{2} es resoluble por racionales
Demostración:
Se define m = 2 ==>
Se define x = 2z ==>
Se define y = 2z ==>
(m/2)·((1/x)+(1/y)) = (1/z)
( x = 3 & y = 4 & z = (12/5) )
Teorema:
(1/x)^{n+1}+(1/y)^{n+1} = (1/z)^{n+1} es irresoluble por racionales <==> n >] 3
Demostración:
Homología deformable de Galois:
A_{n} = [ f_{n} : ...
... n·{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n ==> f(k) = k ] } ...
... ---> ...
... (n+1)·{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n+1 ==> f(k) = k ] } ...
... ]_{n}
B_{n} = ...
... [ g_{n} : (1/x)^{n}+(1/y)^{n} = (1/z)^{n} ---> (1/x)^{n+1}+(1/y)^{n+1} = (1/z)^{n+1} ]_{n}
f((1/z)^{f(k)+1}) = f((1/z)^{k+1}) = (1/z)·(1/z)^{k} = (1/z)^{k+1} = (1/z)^{f(k)+1}
g((1/z)^{k+1}) = (1/x)^{k+1} & h((1/z)^{k+1}) = (1/y)^{k+1}
n·#{ < k,f(k) > : [Ak][ 1 [< k [< n ==> f(k) = k ] } > 2·(n+1)+1 <==> n >] 3
Teorema:
[An][ x^{n}+y^{n} = z^{n+1} es resoluble por enteros ]
( x = 2 & y = 2 & z = 2 )
Demostración:
B_{n} = [ g_{n} : x^{n}+y^{n} = z^{n+1} ---> x^{n+1}+y^{n+1} = z^{n+2} ]_{n}
f(z^{f(k)+1}) = f(z^{k+1}) = z·z^{k} = z^{k+1} = z^{f(k)+1}
g(z^{k+1}) = x^{k} & h(z^{k+1}) = y^{k}
k es resoluble
z^{k} es resoluble por enteros
Teorema:
[An][ (1/x)^{n}+(1/y)^{n} = (1/z)^{n+1} es resoluble por racionales ]
( x = (1/2) & y = (1/2) & z = (1/2) )
Demostración:
Examen de teoría de números algebraica.
Sabéis las cinco habladurías que hay de mi:
Que soy homosexual,
emitiendo energía.
Que mis infieles joden a fieles,
con la cláusula.
Que soy un violador mental,
con la cláusula.
Que mato a hombres,
con la cláusula.
Que mato a extraterrestres,
con la cláusula y sin híper-espacio.
Porque no me recibíis?
Si soy al que se tiene que recibir.
Definición: [ de escalera de frecuencias de tonos de Bach-Mozart ]
< a_{k} : [0,12]_{N} ---> [1,2]_{R} & k --> a_{k} = 2^{(k/12)} >
< b_{k} : [0,12]_{N} ---> [(1/2),1]_{R} & k --> b_{k} = (1/2)^{(k/12)} >
Nota histórica:
Programé un piano con la frecuencia del speaker del ordenador.
Práctica informática:
Programar un piano o una caja de música,
con la frecuencia del speaker del ordenador.
while( música != 0 )
{
k = 0;
status = 1;
while( k != m )
{
Si status == 1 ==>
{
speaker( pow(2,(n/12)) );
status = 0;
}
k = k + tiempo-segundos-positivo(s);
}
}
while( música != not(0) )
{
k = not(0);
status = not(1);
while( k != not(m) )
{
Si status = not(1) ==>
{
speaker( pow(2,((n+6)/12)) );
status = not(0);
}
k = k + tiempo-segundos-negativo(s);
}
}
Teorema: [ del producto de dos octavas creciente de Bach-Mozart ]
Si f(k) = 2^{(k/12)} ==> prod[k = 0]-[23][ f(k) ] = 2^{23}
Teorema: [ del producto de dos octavas decreciente de Bach-Mozart ]
Si f(k) = (1/2)^{(k/12)} ==> prod[k = 0]-[23][ f(k) ] = (1/2)^{23}
Teorema: [ de la distribución creciente de Bach-Mozart ]
Si f(k) = ( 2^{(1/12)}+(-1) )·2^{(k/12)} ==> sum[k = 0]-[11][ f(k) ] = 1
Teorema: [ de la distribución decreciente de Bach-Mozart ]
Si f(k) = 2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·(1/2)^{(k/12)} ==> sum[k = 0]-[11][ f(k) ] = 1
Teorema: [ del sumatorio creciente de Bach-Mozart ]
Si f(k) = ( 2^{(1/12)}+(-1) )·2^{(k/12)} ==> ...
... sum[p = 0]-[m][ sum[k = 0+12p]-[11+12p][ f(k) ] ] = sum[p = 0]-[m][ 2^{p} ]
Teorema: [ del sumatorio decreciente de Bach-Mozart ]
Si f(k) = 2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·(1/2)^{(k/12)} ==> ...
... sum[p = 0]-[m][ sum[k = 0+12p]-[11+12p][ f(k) ] ] = sum[p = 0]-[m][ (1/2)^{p} ]
Definición: [ de medida exterior de Bach-Mozart ]
M( [ || ]-[k = 1]-[n][ 2^{(m_{k}/12)} ] ) = ...
... min{ sig( h(k+1) > h(k) )·( 2^{(1/12)}+(-1) )·2^{(m_{k}/12)} : 1 [< k [< n }
M( [&]-[k = 1]-[n][ (1/2)^{(m_{k}/12)} ] ) = ...
... max{ sig( h(k) > h(k+1) )·2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·(1/2)^{(m_{k}/12)} : 1 [< k [< n }
Teorema:
M( [ || ]-[k = 1]-[n][ 2^{(m_{k}/12)} ] ) [< sum[k = 1]-[n][ M(2^{(m_{k}/12)}) ]
Demostración:
M( [ || ]-[k = 1]-[n][ 2^{(m_{k}/12)} ] ) = ( 2^{(1/12)}+(-1) )·2^{(m_{i}/12)} [< ...
... ( 2^{(1/12)}+(-1) )·( 2^{(m_{1}/12)}+...+2^{(m_{n}/12)} ) = ...
... sum[k = 1]-[n][ M(2^{(m_{k}/12)}) ]
Teorema:
M( [&]-[k = 1]-[n][ (1/2)^{(m_{k}/12)} ] ) >] sum[k = 1]-[n][ M((1/2)^{(m_{k}/12)}) ]
Demostración:
M( [ || ]-[k = 1]-[n][ (1/2)^{(m_{k}/12)} ] ) = ...
... (-1)·2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·(1/2)^{(m_{i}/12)} >] ...
... (-1)·2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) )·( (1/2)^{(m_{1}/12)}+...+(1/2)^{(m_{n}/12)} ) = ...
... sum[k = 1]-[n][ M((1/2)^{(m_{k}/12)}) ]
Teorema:
M(0) = ( 2^{(1/12)}+(-1) ) >] 0
Teorema:
M(E) = (-1)·2^{(11/12)}·( 2^{(1/12)}+(-1) ) [< 0
Definición: [ de homologías de Bach-Mozart ]
A_{n} = [ f_{n} : 2^{(n/12)} ---> 2^{( (n+1)/12 )} ]_{n}
B_{m} = [ g_{m} : (1/2)^{(m/12)} ---> (1/2)^{( (m+1)/12 )} ]_{m}
Teorema:
Las homologías de Bach-Mozart están conectadas paralelamente.
Demostración:
Se define L(2^{(k/12)}) = (1/2)^{(1/12)·( m+k+(-n) )}
Teorema:
Las homologías de Bach-Mozart están conectadas cruzadamente.
Demostración:
Se define P(2^{(k/12)}) = (1/2)^{(1/12)·( m+k+(-1)·(n+1) )}
Se define Q(2^{(k/12)}) = (1/2)^{(1/12)·( (m+1)+k+(-n) )}
Leyes de gatos:
Ley:
ma-em.
querer estar.
me-am.
poder estar.
Ley:
mi-um.
atacar sin sonido.
mu-im.
bloquear con sonido.
Ley:
mi ma-em am mu.
mi miau ma-em em mu
Quiero estar contigo.
No quiero estar sin ti.
mu ma-em am mi.
mu miau ma-em em mi.
Quieres estar conmigo.
No quieres estar sin mi.
Ley:
mi miau ma-em am mu.
mi ma-em em mu
No quiero estar contigo.
Quiero estar sin ti.
mu miau ma-em am mi.
mu ma-em em mi.
No quieres estar conmigo.
Quieres estar sin mi.
Ley:
mi im mu.
mi miau um mu.
Yo dentro de ti.
Yo no fuera de ti.
Te amo.
mu im mi.
mu miau um mi.
Tú dentro de mi.
Tú no fuera de mi.
Ley:
ma-em am me-me-ma.
Querer estar con menjar.
ma-em am ma-ma-me.
Querer estar con bebida.
Ley:
ma-em am mi-mi-mu.
Querer estar con un palito de carne.
ma-em am mu-mu-mi.
Querer estar con un palito de pescado.
Ley:
meu im ma.
caca dentro de ella.
mau im me.
pipi dentro de él.
Leyes de perros:
Ley:
ga-eg.
querer estar.
ge-ag.
poder estar.
Ley:
go-ug.
atacar sin sonido.
gu-og.
bloquear con sonido.
Ley:
go ga-eg ag gu.
go goau ga-eg eg gu.
Quiero estar contigo.
No quiero estar sin ti.
gu ga-eg ag go.
gu goau ga-eg eg go
Quieres estar conmigo.
No quieres estar sin mi.
Ley:
go goau ga-eg ag gu.
go ga-eg eg gu.
No quiero estar contigo.
Quiero estar sin ti.
gu goau ga-eg ag go.
gu ga-eg eg go.
No quieres estar conmigo.
Quieres estar sin mi.
Ley:
go og gu.
go goau ug gu.
Yo dentro de ti.
Yo no fuera de ti.
Te amo.
gu og go.
gu goau ug go.
Tú dentro de mi.
Tú no fuera de mi.
Ley:
ga-eg ag ge-ge-ga.
Querer estar con menjar.
ga-eg ag ga-ga-ge.
Querer estar con bebida.
Ley:
ga-eg ag go-go-gu.
Querer estar con un palito de carne.
ga-eg ag gu-gu-go.
Querer estar con un palito de pescado.
Ley:
geu og ga.
caca dentro de ella.
gau og ge.
pipi dentro de él.
Clásico:
cagar [o] cagar
pishar [o] pijar
Axioma-Bíblico:
Ama al próximo como a ti mismo.
Ama al prójimo como no a ti mismo.
Ley:
Se puede comprar al prójimo pagando.
Se puede vender al prójimo cobrando.
Ley:
Se puede utilizar en el prójimo pagando.
Se puede ceder al prójimo cobrando.
Ley:
Invitar a un café al prójimo es ilegal,
porque se utiliza el bar del prójimo sin pagar.
Invitar a un café del prójimo es ilegal,
porque se cede el bar al prójimo sin cobrar.
Ley:
Se puede contratar al prójimo pagando.
Se puede trabajar en el prójimo cobrando.
Examen de veterinario:
Traducid a perro la siguiente medicación:
Ley:
mi miau me-am am mu.
No puedo estar contigo.
mu miau me-am am mi.
No puedes estar conmigo.
Anexo:
Querer estar es lenguaje de gato o perro.
Poder estar es medicación de gato o perro.
Destructor:
miau:
< mi,mu,me,ma >
< im,um,em,am >
goau:
< go,gu,ge,ga >
< og,ug,eg,ag >
Definición:
[AB][ 0^{u}·M(B) [< n ] ==> u es la dimensión de Hausdorff positiva.
[A¬B][ 0^{v}·M(¬B) >] (-n) ] ==> v es la dimensión de Hausdorff negativa.
Teorema:
Si M(A) = max{ k^{p} : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = p
Si M(¬A) = min{ (-1)·k^{p} : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = p
Teorema:
Si M(A) = max{ p^{k} : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = p+(-1)
Si M(¬A) = min{ (-1)·p^{k} : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = p+(-1)
Teorema:
Si M(A) = max{ pk : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = log_{0}(1/p)+1
Si M(¬A) = min{ (-1)·pk : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = log_{0}(1/p)+1
Definición:
[AB][ oo^{u}·M(B) >] (1/n) ] ==> u es la dimensión de Hausdorff-Garriga positiva.
[A¬B][ oo^{v}·M(¬B) [< (-1)·(1/n) ] ==> v es la dimensión de Hausdorff-Gerriga negativa.
Teorema:
Si M(A) = min{ (1/k)^{p} : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = p
Si M(¬A) = max{ (-1)·(1/k)^{p} : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = p
Teorema:
Si M(A) = min{ (1/p)^{k} : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = p+(-1)
Si M(¬A) = max{ (-1)·(1/p)^{k} : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = p+(-1)
Teorema:
Si M(A) = max{ p·(1/k) : A [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ A_{k} ] } ==> u = log_{oo}(1/p)+1
Si M(¬A) = min{ (-1)·p·(1/k) : ¬A >>] [ || ]-[k = 1]-[n][ ¬A_{k} ] } ==> v = log_{oo}(1/p)+1
Habladuría:
Que los extraterrestres son dioses de los hombres.
Corrección:
Los dioses de los hombres son hombres.
Habladuría:
Que los extraterrestres son dioses del universo.
Corrección:
Hay un dios del universo hombre.
Habladuría:
Que los extraterrestres han construido los templos de piedra,
Corrección:
Los templos de piedra los han construido los hombres.
Teorema:
Sea m(x,x) = 0 ==>
Si M(h) = | m(x+h,x) | ==> M(h) es una medida exterior continua
Si M(-h) = | m(x,x+(-h))·i | ==> M(-h) es una medida exterior continua
Demostración:
M(min{h_{1},...,h_{n}}) = | m(x+h_{k},x) | [< sum[k = 1]-[n][ M(h_{k}) ]
M(max{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}}) = | m(x,x+(-1)·h_{k})·i | >] sum[k = 1]-[n][ M((-1)·h_{k}) ]
M(0) = | m(x+0,x) | = | m(x,x) | = 0 >] 0
[As][ s > 0 ==> M(0) < s ]
M(E) = | m(x,x+(-0))·i | = | m(x,x)·i | = (-0) [< 0
[A(-s)][ (-s) < 0 ==> M(E) > (-s) ]
Teorema:
Sea m(x,x) = 0 ==>
Si M(h) = | h·2n+m(x+h,x) | ==> M(h) es una medida exterior continua
Si M(-h) = | ( (-h)·2n+m(x,x+(-h)) )·i | ==> M(-h) es una medida exterior continua
Demostración:
M(min{h_{1},...,h_{n}}) = | h_{k}·2n+m(x+h_{k},x) | [< ...
... sum[k = 1]-[n][ M(h_{k}) ]
M(max{(-1)·h_{1},...,(-1)·h_{n}}) = | ( (-1)·h_{k}·2n+m(x,x+(-1)·h_{k}) )·i | >] ...
... sum[k = 1]-[n][ M((-1)·h_{k}) ]
M(0) = | 0·2n+m(x+0,x) | = | 0·2n+m(x,x) | = | 0·2n+0 | = | 0·(2n+1) | = 0 >] 0
[As][ s > 0 ==> M(0) < s ]
M(E) = | ( (-0)·2n+m(x,x+(-0)) ) i | = | ( (-0)·2n+m(x,x) ) i | = ...
... | ( (-0)·2n+0 )·i | = | 0·(2n+1)·i | = (-0) [< 0
[A(-s)][ (-s) < 0 ==> M(E) > (-s) ]
Teorema:
Si M(a+(-x)) = f(a)+(-1)·f(x) ==> M(a+(-x)) es una medida continua x = a
Si M((-a)+(-x)) = f(a)+(-1)·f(-x) ==> M((-a)+(-x)) es una medida continua (-x) = a
Demostración:
a+(-x) = 0 ==> x = a ==> ...
... M(0) = ( f(a)+(-1)·f(a) ) = 0
(-x)+(-a) = (-0) ==> (-x) = a ==> ...
... M(-0) = ( f(a)+(-1)·f(a) ) = (-0)
Sea a [< b ==>
M(b+(-x)) = M(max{b+(-x),a+(-x)}) = M(b+(-x))+M(a+(-x))
<==>
M(a+(-x)) = 0
Sea (-a) >] (-b) ==>
M((-b)+(-x)) = M(min{(-b)+(-x),(-a)+(-x)}) = M((-b)+(-x))+M((-a)+(-x))
<==>
M((-a)+(-x)) = (-0)
Sea s > 0 ==>
Si x+(-a) = 0 ==>
x = a ==>
M(0) = 0 < s
Sea (-s) < 0 ==>
Si x+(-a) = (-0) ==>
x = a ==>
M(-0) = (-0) > (-s)
Teorema:
Sea B(a+(-x),r) = { r : a+(-x) [< r }
Sea ¬B((-a)+(-x),(-r)) = { (-r) : (-a)+(-x) >] (-r) }
M({a+(-x)}) = f(a)+(-1)·f(x)
M({(-a)+(-x)}) = f(a)+(-1)·f(-x)
Si W({x}) = M( {a+(-x)} [&] B(a+(-x),r) ) ==> ...
... W({x}) es una medida continua en x = a
Si W({(-x)}) = M( {(-x)+(-a)} [&] ¬B((-x)+(-a),(-r)) ) ==> ...
... W({(-x)}) es una medida continua en (-x) = a
Demostración:
a+(-x) = 0 ==> x = a ==> ...
... M({0}) = ( f(a)+(-1)·f(a) ) = 0
(-x)+(-a) = (-0) ==> (-x) = a ==> ...
... M({(-0)}) = ( f(a)+(-1)·f(a) ) = (-0)
Sea a [< b ==>
M({b+(-x)}) = M({ max{b+(-x),a+(-x)} }) = M({b+(-x)})+M({a+(-x)})
<==>
M({a+(-x)}) = 0
Sea (-a) >] (-b) ==>
M({(-b)+(-x)}) = M({ min{(-b)+(-x),(-a)+(-x)} }) = M({(-b)+(-x)})+M({(-a)+(-x)})
<==>
M({(-a)+(-x)}) = (-0)
Sea z € {a+(-x)} ==>
z = a+(-x) ==>
Se define r = a+(-x) ==>
z = r ==>
z € B(a+(-x),r)
{a+(-x)} [<< B(a+(-x),r)
W({x}) = M( {a+(-x)} [&] B(a+(-x),r) ) = M({a+(-x)})
Sea s > 0 ==>
Si a+(-x) = 0 ==>
{a+(-x)} = {0}
W({a}) = M({0}) = 0 < s
Definición: [ de medida exterior métrica irregular ]
M(A) es una medida exterior.
m(A,B) > 0
M(¬A) es una medida exterior.
m(¬A,¬B) < 0
Teorema: [ de Caratheodory ]
Sea M(A) una medida exterior.
Sea A >>] B ==>
Si A_{k} = { x€A : m(x,B) > p+(1/k) } ==> ...
... ( M(A) es una medida exterior métrica irregular & lim[k = oo][ M(A_{k}) ] [< M(A)+M(B) )
Sea M(¬A) una medida exterior.
Sea ¬A [<< ¬B ==>
Si ¬A_{k} = { x€¬A : m(x,¬B) < (-p)+(-1)·(1/k) } ==> ...
... ( M(¬A) es una medida exterior métrica irregular & lim[k = oo][ M(¬A_{k}) ] >] M(¬A)+M(¬B) )
Demostración:
m(A,B) = lim[k = oo][ m(A_{k},B) ] > lim[k = oo][ p+(1/k) ] >] p >] 0
lim[k = oo][ M(A_{k}) ] = M(A) = M(A [ || ] B) [< M(A)+M(B)
Definición: [ de medida exterior métrica regular ]
M(A) es una medida exterior.
m(A,B) [< oo
M(¬A) es una medida exterior.
m(¬A,¬B) >] (-oo)
Teorema: [ de Caratheodory-Garriga ]
Sea M(A) una medida exterior.
Si ( A_{k} = { x€A : m(x,C) [< (1/2)·k } & B_{k} = { x€B : m(x,C) [< (1/2)·k } ) ==> ...
... M(A) es una medida exterior métrica regular
Sea M(¬A) una medida exterior.
Si ( ¬A_{k} = { x€¬A : m(x,¬C) >] (1/2)·(-k) } & ¬B_{k} = { x€¬B : m(x,¬C) >] (1/2)·(-k) } ) ==> ...
... M(¬A) es una medida exterior métrica regular
Demostración:
m(A,B) = lim[k = oo][ m(A_{k},B_{k}) ] [< lim[k = oo][ m(A_{k},C)+m(B_{k},C) ] [< ...
... lim[k = oo][ (1/2)·k+(1/2)·k ] = lim[k = oo][ k ] = oo
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