funció zeta 3s

∑ ( 1/k^{3(2s+1)} ) = (1/2)·( 1/( (2^{2s}+1)^{2s+1}·( 2^{2s+1}+(-1) )·( 2^{2s+2}+1 ) ) )·pi^{3(2s+1)}


∑ ( 1/k^{3} ) = ( 1/(2·2^{1}·5) )·pi^{3} = (1/20)·pi^{3}
∑ ( 1/k^{9} ) = ( 1/(2·5^{3}·7·17) )·pi^{9} = (1/29750)·pi^{9}


(1/20)·pi^{3} < (1/6)·pi^{2}
pi < (20/6) = 3.3...


(1/90)·pi^{4} < (1/20)·pi^{3}
pi < (90/20) = 4.5


(1/29750)·pi^{9} < (1/9450)·pi^{8}
pi < (29750/9450) = 3.1481...


(1/93555)·pi^{10} < (1/29750)·pi^{9}
pi < (93555/29750) = 3.1447058824

integració per parts

∫ [ f(x)·d_{x}[g(x)]·( mx^{(1+(-1)(1/m))} ) ] d[x^{(1/m)}] = ...
... f(x)·g(x)+(-1)·∫ [ g(x)·d_{x}[f(x)]·( mx^{(1+(-1)(1/m))} ) ] d[x^{(1/m)}]


∫ [ f(x)·d_{x^{(1/m)}}[g(x)] ] d[x^{(1/m)}] = ...
... f(x)·g(x)+(-1)·∫ [ g(x)·d_{x^{(1/m)}}[f(x)] ] d[x^{(1/m)}]

inducció y descens

si a >] 1 ==> [∀n][ n€N ==> ( 1 [< a^{n} & a^{n} [< a^{oo} ) ]


si a >] 1 ==> [∀n][ n€N ==> ( 1 >] (1/a)^{n} & (1/a)^{n} >] a^{oo} ) ]

inducció y descens

[∀n][ n€N ==> ( 1 [< n & n [< oo ) ]


[∀n][ n€N ==> ( 1 >] (1/n) & (1/n) >] (1/oo) ) ]

inducció de factorial

1!·1+...(n)...+n!·n = (n+1)!+(-1)


( 1!+2!·1 )+...(n)...+( n!+(n+1)!·n ) = (n+1)!·(n+1)+(-1)


( 1!+1!·1^{2} )+...(n)...+( n!+n!·n^{2} ) = (n+1)!·n

anexo evangelico: de luz y tinieblas

Afirmación:
en las tinieblas,
alguna gente no es;
con la gente que no es,
no hay condenación;
y con la gente que es,
hay condenación.


Negación:
en la luz,
toda la gente es;
con la gente que es,
hay condenación;
y con la gente que no es,
no hay condenación.

sistemes no inercials

d_{t}[x] = d_{t}[y]+(-1)·R·d_{t}[s(t)]


d_{tt}^{2}[x] = d_{tt}^{2}[y]+(-1)·R·d_{tt}^{2}[s(t)]


d_{tt}^{2}[x] = d_{tt}^{2}[y]+(-1)·( R/s(t) )·d_{t}[s(t)]^{2}


d_{t}[x] = d_{t}[y]+(-1)·R·ln(s(t)) [o(t)o] s(t)

equilibrio dinámico: escalera pared

peso de la escalera = qg
longitud de la escalera = d
ángulo del suelo con la escalera = s
deslizamiento con el suelo = F_{1}
deslizamiento con la pared = F_{2}
Fuerza de fricción con el suelo = F_{3}
Fuerza de fricción con la pared = F_{4}


F_{2}·(d/2)·cos(s) = (-1)·F_{1}·(d/2)·sin(s)


qg·(d/2)·cos(s) = F_{1}·d·sin(s)
qg·(d/2)·cos(s) = (-1)·F_{2}·d·cos(s)


F_{1} = (1/2)·qg·cot(s)
F_{2} = (-1)·(1/2)·qg


m·d_{tt}^{2}[x(t)] = F_{1}+F_{3}
m·d_{tt}^{2}[y(t)] = (-1)·qg+F_{2}+F_{4}


F_{3} = (-1)·(1/2)·qg·cot(s)
F_{4} = (3/2)·qg

equilibrio dinámico: rueda escalón

Escalón = h
Fuerza de estiramiento-empuje = F_{0}
Fuerza de radial de equilibrio = F_{1} & F_{2}
Radio de la rueda = R
Peso de la rueda = qg


Equilibrio de momentos de fuerza:
( F_{0}+(-1)·F_{1} )·( R+(-1)h ) = ( qg+(-1)·F_{2} )·( R^{2}+(-1)( R+(-1)h )^{2} )^{(1/2)}


Si h = 0 ==> F_{1} = (-1)·F_{0}
Si h = R ==> F_{2} = qg


m·d_{tt}^{2}[x(t)] = F_{0} + F_{1}
m·d_{tt}^{2}[y(t)] = (-1)·qg + F_{2}


F_{1} = (-1)·qg·cot(s)
F_{2} = qg·( 1/sin(s) )