Definición: [ de topología lineal ]
&-topología lineal:
(x & y) € A <==> (wxy) € A
||-topología lineal:
(x || y) € B <==> (ax+by) € B
Teorema:
Si ( A es &-topología lineal & B es &-topología lineal ) ==> A [&] B es &-topología lineal
Demostración:
Sea (x & y) € A [&] B ==>
(x & y) € A & (x & y) € B
(wxy) € A & (wxy) € B
(wxy) € A [&] B
Teorema:
Si ( A es &-topología lineal & B es &-topología lineal ) ==> A [ || ] B es &-topología lineal
Demostración:
Sea (x & y) € A [ || ] B ==>
(x & y) € A || (x & y) € B
(wxy) € A || (wxy) € B
(wxy) € A [ || ] B
Teorema:
Si ( A es ||-topología lineal & B es ||-topología lineal ) ==> A [ || ] B es ||-topología lineal
Demostración:
Sea (x || y) € A [ || ] B ==>
(x || y) € A || (x || y) € B
(ax+by) € A || (ax+by) € B
(ax+by) € A [ || ] B
Teorema:
Si ( A es ||-topología lineal & B es ||-topología lineal ) ==> A [&] B es ||-topología lineal
Demostración:
Sea (x || y) € A [&] B ==>
(x || y) € A & (x || y) € B
(ax+by) € A & (ax+by) € B
(ax+by) € A [&] B
Teorema:
Si A = { < 1,0 >,< 0,1 >,< 0,0 > } ==> A es &-topología lineal
< 1,0 > & < 0,1 > = < 0,0 > = < 1,0 >·< 0,1 >
< 0,0 > & < 0,1 > = < 0,0 > = < 0,0 >·< 0,1 >
< 1,0 > & < 0,0 > = < 0,0 > = < 1,0 >·< 0,0 >
Si B = { < 0,1 >,< 1,0 >,< 1,1 > } ==> B es ||-topología lineal
< 0,1 > || < 1,0 > = < 1,1 > = < 0,1 >+< 1,0 >
< 1,1 > || < 1,0 > = < 1,1 > = < 1,1 >+0·< 1,0 >
< 0,1 > || < 1,1 > = < 1,1 > = 0·< 0,1 >+< 1,1 >
Teorema:
Si A = {n,n+1} ==> A es &-topología lineal
min{n,n+1} = n = (1/(n+1))·n·(n+1)
max{n,n+1} = n+1 = (1/n)·n·(n+1)
Si B = {n,n+1} ==> B es ||-topología lineal
max{n,n+1} = n+1 = 0·n+(n+1)
min{n,n+1} = n = n+0·(n+1)
Teorema:
Si A = {2k,2pk} ==> A es &-topología lineal
mcd{2k,2pk} = 2k = (1/(2pk))·2k·2pk
mcm{2k,2pk} = 2pk = (1/(2k))·2k·2pk
Si B = {2k,2pk} ==> B es ||-topología lineal
mcm{2k,2pk} = 2pk = 0·2k+2pk
mcd{2k,2pk} = 2k = 2k+0·2pk
Teorema:
Si A = {1,...,n} ==> A es &-topología lineal
max{n} = ( 1/(n+(-1))! )·prod[k = 1]-[n][ k ]
Si B = {(-1),...,(-n)} ==> B es &-topología lineal
min{(-n)} = ( 1/((-n)+1)! )·prod[k = 1]-[n][ (-k) ]
Teorema:
Si A = {1,...,n} ==> A es ||-topología lineal
max{n} = sum[k = 1]-[n][ ( 2/(n+1) )·k ]
Si B = {(-1),...,(-n)} ==> B es ||-topología lineal
min{(-n)} = sum[k = 1]-[n][ ( 2/(n+1) )·(-k) ]
Teorema:
Si A = {e^{4pi·i·(0/n)},...,e^{4pi·i·(n/n)}} ==> A es &-topología lineal
max{e^{4pi·i·(k/n)}} = prod[k = 0]-[n][ e^{4pi·i·(k/n)} ]
Si B = {e^{(-1)·4pi·i·(0/n)},...,e^{(-1)·4pi·i·(n/n)}} ==> B es &-topología lineal
min{e^{(-1)·4pi·i·(k/n)}} = prod[k = 0]-[n][ e^{(-1)·4pi·i·(k/n)} ]
Teorema:
Si A = {e^{4pi·i·(0/n)},...,e^{4pi·i·(n/n)}} ==> A es ||-topología lineal
max{e^{4pi·i·(k/n)}} = ...
... sum[k = 0]-[n][ ( (e^{4pi·i·(1/n)}+(-1))/(e^{4pi·i·((n+1)/n)}+(-1)) )·e^{4pi·i·(k/n)} ]
Si B = {e^{(-1)·4pi·i·(0/n)},...,e^{(-1)·4pi·i·(n/n)}} ==> B es ||-topología lineal
min{e^{(-1)·4pi·i·(k/n)}} = ...
... sum[k = 0]-[n][ ( (e^{(-1)·4pi·i·(1/n)}+(-1))/(e^{(-1)·4pi·i·((n+1)/n)}+(-1)) )·e^{(-1)·4pi·i·(k/n)} ]
Cárcel:
Ley:
No salir por la mañana de la cárcel:
Robar la libertad en la propiedad.
Duchar-se cada mañana:
Robar la intimidad en la propiedad.
Ley:
Vestir con pijama:
Robar la propiedad.
Tener el váter en la habitación:
Robar des-propiedad.
Ley:
No tener visitas:
No desear nada del próximo.
Tener un compañero de habitación:
Desear algo del prójimo.
Ley: [ de salvación ]
Los fieles,
amaron más a la Luz que a las Tinieblas,
yendo o vatxnando a un mundo de infieles,
no siguiendo el odio del mundo.
Los infieles,
amaron más a las Tinieblas que a la Luz,
yendo o vatxnando a la Cárcel los fieles,
siguiendo el odio del mundo.
Definición:
lim[n = oo][ f(n) = g(n)+O( h(n) ) ]
<==>
[Eu][Ev][ u [< lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·g(n) ) ] [< v ]
Teorema:
Sea lim[n = oo][ H( f(n) ) = g(n)+O( h(n) ) ] ==>
lim[n = oo][ f(n) != g(n)+O( h(n) ) ] <==> H( f(n) ) < f(n)
lim[n = oo][ f(n) = g(n)+O( h(n) ) ] <==> H( f(n) ) > f(n)
Demostración: [ por destructor ]
lim[n = oo][ H( f(n) ) = g(n)+O( h(n) ) ]
u [< lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( H( f(n) )+(-1)·g(n) ) ] [< v
v < lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·g(n) ) ]
lim[n = oo][ f(n) != g(n)+O( h(n) ) ]
H( f(n) ) < f(n)
lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( H( f(n) )+(-1)·g(n) ) ] < lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·g(n) ) ] [< v
v < lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( H( f(n) )+(-1)·g(n) ) ]
lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·g(n) ) ] < lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( H( f(n) )+(-1)·g(n) ) ]
Teorema:
Sea lim[n = oo][ f(n) = H( g(n) )+O( h(n) ) ] ==>
lim[n = oo][ f(n) != g(n)+O( h(n) ) ] <==> H( g(n) ) < g(n)
lim[n = oo][ f(n) = g(n)+O( h(n) ) ] <==> H( g(n) ) > g(n)
Demostración: [ por destructor ]
lim[n = oo][ f(n) = H( g(n) )+O( h(n) ) ]
u [< lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·H( g(n) ) ) ] [< v
lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·g(n) ) ] < u
lim[n = oo][ f(n) != g(n)+O( h(n) ) ]
H( g(n) ) < g(n)
lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·H( g(n) ) ) ] > lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·g(n) ) ] >] u
u > lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·H( g(n) ) ) ]
lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·g(n) ) ] > lim[n = oo][ ( 1/h(n) )·( f(n)+(-1)·H( g(n) ) ) ]
Teorema:
lim[n = oo][ sum[k = 1]-[n][ k ] != ln(n)+O(n) ]
lim[n = oo][ sum[k = 1]-[n][ (1/k) ] = ln(n)+O(n) ]
Demostración: [ por destructor ]
f(k) = 1
n = sum[k = 1]-[n][ 1 ] = sum[k = 1]-[n][ f(k) ] = sum[k = 1]-[n][ k ]= ln(n)+O(n)
0 < 1+(-1)·ln(2) < 1
Teorema:
lim[n = oo][ e^{n} != sum[k = 1]-[n][ k ]+O(n) ]
lim[n = oo][ e^{n} = sum[k = 1]-[n][ (1/k) ]+O(n) ]
Demostración: [ por destructor ]
e^{n} = sum[k = 1]-[n][ k ]+O(n) = sum[k = 1]-[n][ f(k) ]+O(n) = sum[k = 1]-[n][ 1 ]+O(n) = n+O(n)
0 < (1/ln(2))·( 1+(-1)·ln(2) ) < 1
1 < 2·ln(2) = ln(4)
Examen de laboratorio de problemas:
Teorema:
lim[n = oo][ 2n != sum[k = 1]-[n][ k ]+ln(n)+O(n) ]
lim[n = oo][ 2n = sum[k = 1]-[n][ (1/k) ]+ln(n)+O(n) ]
Poema a mi Mujer:
Quien es esa o aquella chica,
tan bonita y tan preciosa,
que despierta mi corazón,
viviendo el amor.
Quien es ese o aquel chico,
tan bonito y tan precioso,
que duerme tu corazón,
soñando el amor.
Quien es esa o aquella chica,
con el chocho tan corto,
que mi picha corta funciona bien.
Quien es ese o aquel chico,
con la picha tan corta,
que tu chocho corto funciona bien.
Lley: [ dels Miquelets ]
Balear:
El que es calente pont-de-si amb aqueste o aquet foc,
té destructor.
Català:
El que es calenta amb aqueste o aquet foc,
té destructor.
Aragonés:
El que es calentetxka amb aqueste o aquet fuec,
té destructor.
Valencià:
El que es calenteixka amb aqueste o aquet fuec,
té destructor.
huec [o] hoc [o] hogar
fuec [o] foc [o] fuego
lluec [o] lloc [o] logar
lliac [o] llac [o] lago
joc [o] juego
jac [o] jaque
txoc [o] choque
txac [o] chaco
Definición: [ de medida ]
Sea S una álgebra de conjuntos.
Axioma 1-A:
[EE][ E € S & M(E) = 0 ]
Axioma 1-B:
[E¬E][ ¬E € S & W(¬E) = 0 ]
Teorema 1-A:
[EA][AB][ Si A [<< B ==>
M(A) = 0
<==>
M(A [ || ] B) = M(A)+M(B) ]
Demostración:
Se define A = E ==>
Sea B € S ==>
M(B) = 0+M(B) = M(A)+M(B)
M(B) = M(A [ || ] B) = M(A)+M(B)
M(A) = M(B)+(-1)·M(B) = 0
Teorema 1-B:
[E¬A][A¬B][ Si ¬A >>] ¬B ==>
W(¬A) = 0
<==>
W(¬A [&] ¬B) = W(¬A)+W(¬B) ]
Demostración:
Se define ¬A = ¬E ==>
Sea ¬B € S ==>
W(¬B) = 0+W(¬B) = W(¬A)+W(¬B)
W(¬B) = W(¬A [&] ¬B) = W(¬A)+W(¬B)
W(¬A) = W(¬B)+(-1)·W(¬B) = 0
Definición:
Sea ( F(y) = int[z = 0]-[y][ f(z) ]d[z] & F(x) = int[z = 0]-[x][ f(z) ]d[z] ) ==>
Medida:
M([x,y]) = F(y)+(-1)·F(x)
W(]y,x[) = F(x)+(-1)·F(y)
M([c,c]) = F(c)+(-1)·F(c) = 0
Se define ¬A = ]c,c[ ==>
W(]c,c[) = F(c)+(-1)·F(c) = 0
Teorema:
M([x,y]) = M([x,c])+M([c,y])
F(y)+(-1)·F(x) = F(y)+(-1)·F(c)+F(c)+(-1)·F(x)
Teorema:
W(]y,x[) = W(]y,c[)+W(]c,x[)
F(x)+(-1)·F(y) = F(x)+(-1)·F(c)+F(c)+(-1)·F(y)
Definición:
Sea ( F(y,a) = int[z = 0]-[y][ a^{n+1}·z^{n} ]d[z] & F(x,b) = int[z = 0]-[x][ b^{n+1}·z^{n} ]d[z] ) ==>
Medida:
M([x,y]) = F(y,a)+(-1)·F(x,b)
W(]y,x[) = F(x,b)+(-1)·F(y,a)
Teorema:
M([x,y]) = M([x,b])+M([a,y])
F(y,a)+(-1)·F(x,b) = F(y,a)+F(b,a)+(-1)·F(a,b)+(-1)·F(x,b) = F(y,a)+(-1)·F(a,b)+F(b,a)+(-1)·F(x,b)
Teorema:
W(]y,x[) = W(]y,a[)+W(]b,x[)
F(x,b)+(-1)·F(y,a) = F(x,b)+F(a,b)+(-1)·F(b,a)+(-1)·F(y,a) = F(x,b)+(-1)·F(b,a)+F(a,b)+(-1)·F(y,a)
Examen de teoría de la medida:
Demostrad que es medida.
Definición:
Sea ( ...
... F(y,a) = int[z = ln(0)]-[ln(y)][ a^{n}·e^{nz} ]d[z] & ...
... F(x,b) = int[z = ln(0)]-[ln(x)][ b^{n}·e^{nz} ]d[z] ) ==>
Medida:
M([x,y]) = F(y,a)+(-1)·F(x,b)
W(]y,x[) = F(x,b)+(-1)·F(y,a)
Definición:
Sea ( ...
... F(y,a) = int[z = ln(0)]-[y][ e^{na}·e^{nz} ]d[z] & ...
... F(x,b) = int[z = ln(0)]-[x][ e^{nb}·e^{nz} ]d[z] ) ==>
Medida:
M([x,y]) = F(y,a)+(-1)·F(x,b)
W(]y,x[) = F(x,b)+(-1)·F(y,a)
Definición: [ de medida de valoración borrosa ]
Sea ( M(A_{m}) = (1/m) & M(¬A_{m}) = 1+(-1)·(1/m) ) ==>
Teorema:
Se define m = oo ==>
M(A_{oo}) = 0
Se define m = 1 ==>
M(¬A_{1}) = 0
Definición: [ de medida de probabilidad ]
Sea ( ...
... M(A_{m,n}) = (1/m)·sum[k = 1]-[n][ P(k) ] & ...
... M(¬A_{m,n}) = 1+(-1)·(1/m)·sum[k = 1]-[n][ P(k) ] ) ==>
Teorema:
Se define m = oo ==>
M(A_{oo,n}) = 0
Se define m = 1 ==>
M(¬A_{1,n}) = 0
Examen de Medida:
Definición:
Sea ( M(A_{m,k}) = (k/m) & M(¬A_{m,k}) = 1+(-1)·(k/m) ) ==>
