Parménides:
Fielismo-y-Anti-Fielismo:
es.
El que no es,
no es.
El que es,
tiene Ley,
por Dios:
-Yo soy,
el que soy.
Y di que el que es,
te envía.-
El que no es,
no tiene Ley,
por Diosa:
-Yo no soy,
la que no soy.
Y di que la que no es,
no te envía.-
Teorema:
#P_{n}(N) = oo^{n}
Demostración:
f( {k_{1},...(n)...,k_{n}} ) = < k_{1},...(n)...,k_{n} > = oo^{n}
Teorema:
#P_{oo}(N) = oo^{oo}
Demostración:
f( {k_{1},...(oo)...,k_{oo}} ) = < k_{1},...(oo)...,k_{oo} > = oo^{oo}
Teorema:
Partes finitas de los números naturales,
son numerables.
Partes infinitas de los números naturales,
no son numerables.
Teorema:
Partes de los números naturales,
no es numerable,
por absorción de partes infinitas.
Teorema:
Cofinal(oo) = oo
Demostración:
Si [Em][An][ n < m ] ==>
Sea m = n+1 ==>
n < m < m+1
Teorema:
Cofinal(oo^{k}) = oo
Demostración:
Si [Em][An][ n < m ] ==>
Sea m = n+1 ==>
n·oo^{k+(-1)} < m·oo^{k+(-1)} < (m+1)·oo^{k+(-1)}
Teorema:
Cofinal(oo^{oo}) = oo^{oo}
Demostración:
Si [Em][An][ n < m ] ==>
Sea m = n+1 ==>
n^{n} < m^{m} < (m+1)^{m+1}
Teorema:
Cofinal(oo^{oo^{k}}) = oo^{oo}
Demostración:
Si [Em][An][ n < m ] ==>
Sea m = n+1 ==>
( n^{n} )^{oo^{k+(-1)}} < ( m^{m} )^{oo^{k+(-1)}} < ( (m+1)^{(m+1)} )^{oo^{k+(-1)}}
Teorema: [ de convergencia monótona ]
Si int[ f_{n}(x) ]d[x] es creciente ==> lim[n = oo][ int[ f_{n}(x) ]d[x] ] = int[f(x)]d[x]
Si int[ f_{n}(x) ]d[x] es decreciente ==> lim[n = oo][ int[ f_{n}(x) ]d[x] ] = int[f(x)]d[x]
Demostración:
[ [< ]
int[ f_{n+(-1)}(x) ]d[x] ] [< int[ f_{n}(x) ]d[x] [< int[f(x)]d[x]
lim[n = oo][ int[ f_{n}(x) ]d[x] ] [< int[f(x)]d[x]
[ >] ]
[En_{0}][An][ n > n_{0} ==> int[ f_{n+1}(x) ]d[x] ] >] int[ f_{n}(x) ]d[x] >] ...
... ( 1+(-1)·(1/n) )·int[f(x)]d[x] >] ( 1+(-1)·(1/n_{0}) )·int[f(x)]d[x] ]
lim[n = oo][ int[ f_{n}(x) ]d[x] ] >] lim[n = oo][ ( 1+(-1)·(1/n) )·int[f(x)]d[x] ] = int[f(x)]d[x]
Teorema:
lim[n = oo][ int[ n ]d[x] ] = int[ lim[n = oo][ n ] ][x]
lim[n = oo][ int[ (1/n) ]d[x] ] = int[ lim[n = oo][ (1/n) ] ][x]
Teorema:
lim[n = oo][ int[ (-n) ]d[x] ] = int[ lim[n = oo][ (-n) ] ][x]
lim[n = oo][ int[ (-1)·(1/n) ]d[x] ] = int[ lim[n = oo][ (-1)·(1/n) ] ][x]
Teorema: [ Lema de Fatou ]
Si [Eg][ y = g(x) ] ==> ...
... inf[ int[ lim[n = oo][ f_{n}(x) ] ]d[x] ] >] lim-inf[n = oo][ int[ f_{n}(y) ]d[y] ]
... sup[ int[ lim[n = oo][ f_{n}(x) ] ]d[x] ] [< lim-sup[n = oo][ int[ f_{n}(y) ]d[y] ]
Demostración:
inf[ int[ lim[n = oo][ f(x) ]d[x] ] ] = inf[ int[f(x)]d[x] ] = lim[n = oo][ int[ f_{n}(y) ]d[y] ] >] ...
... lim-inf[n = oo][ int[ f_{n}(y) ]d[y] ]
Teorema:
Sea f_{n}(x) = ( n/(1+nx) ) ==> Comprobad el lema de Fatou = ?
Demostración:
... ln(0) = inf[ ln(x) ] = lim-inf[ ln(1+ny) ] = ln(0) ...
... ln(oo) = sup[ ln(x) ] [< lim-sup[ ln(1+ny) ] = 2·ln(oo)
y = (1/n)·( x+(-1) )
Teorema:
Sea f_{n}(x) = ( 1/(1+nx) ) ==> Comprobad el lema de Fatou = ?
Demostración:
... 0 = inf[ ln(1) ] >] lim-inf[ (1/n)·ln(1+ny) ] = (-1)·ln(2) ...
... 0 = sup[ ln(1) ] [< lim-sup[ (1/n)·ln(1+ny) ] = 2·ln(2)
d_{x}[ 0·ln(x) ] = 0·d_{x}[ln(x)] = (0/x)
y = (1/n)·( 1^{n}+(-1) )
Clásico pronominal:
los [o] els
nos [o] ens
vos [o] evs
A nosaltres ens odia el món.
A vosaltres evs odia el món.
Aragonés-Medieval [o] Català
-tiat [o] -tat
uell [o] ull [o] ojo [o] ur-ulli-koak
piuell [o] piull [o] piojo [o] ur-piulli-koak
fuella [o] fulla [o] hoja [o] ur-fulli-koak
cuellons [o] cullons [o] cojones [o] cullutna-tat-koasheks
uerella [o] orella [o] oreja [o] orelli-koak
uemella [o] omella [o] almeja [o] omelli-koak
uevell [o] ovell [o] ovejo [o] ovell-koak
uevella [o] ovella [o] oveja [o] ovelli-koak
suerv [o] sorv [o] suervo [o] sorvi-koak
cuerp [o] corp [o] cuerpo [o] corpi-koak
cuep [o] cop [o] cuepo [o] copi-koak
fuec [o] foc [o] fuego [o] fogui-koak
lluec [o] lloc [o] luego [o] logui-koak
txuec [o] joc [o] juego [o] jogui-koak
cuell [o] coll [o] cuello [o] ur-coll-koak
puell [o] poll [o] puello [o] ur-poll-koak
tues [o] tos [o] tos [o] tosi-koak
dues [o] dos [o] dos [o] dosotzok
truenc [o] tronc [o] tronco [o] tronki-koak
drue [o] dro [o] dron [o] droni-koak
Huesca [o] Osca
Teruel [o] Terol
utx amb le seves uerelles,
el que parletxkû.
veu amb els seus uells,
el que escrivitxkû.
utilitzem l'interior del uevell,
perque a l'exterior no té llana.
utilitzem l'exterior del uevella,
perque a l'exterior té llana.
Teorema:
Tinc mal de cuell alguna vegada,
y necesitetxkû alguna vegada antibiótic.
Demostración:
No tinc mal de cuell mai,
y no necesitetxkû mai antibiótic.
Mentxetxkû un Mac-Puell para dinetxkar.
Mentxetxkû un Mac-Puell para sopetxkar.
No han caigut la fuellas de l'abre,
perque encara no es la Tardor.
Han caigut la fuellas de l'arbre,
perque ya es la Tardor.
He fet o faitxnat un fuec amb truencs de pi negre.
He fet o faitxnat un fuec amb truencs de pi blanc.
Trometxkaré uemelles amb llimona,
no al natural.
Trometxkaré uemelles sense llimona,
al natural.
Havien donetxkau un cuep d'estetxkau a l'Aragó,
absorvint l'aragonés a dialecte castellà.
Ya no donetxken un cuep d'estetxkau a l'Aragó,
absorvint l'aragonés a dialecte català.
Definición: [ de función simple ]
s_{n}(x) = [ || ]-[k = 1]-[n][ inf{ f(x) : x€ E_{k} } ]
S_{n}(x) = [ || ]-[k = 1]-[n][ sup{ f(x) : x€ E_{k} } ]
Definición: [ de integral ]
sum[k = 1]-[oo][ inf{f(x) : x€{x_{k}} }·|{x_{k}}| ] = int[f(x)]d[x]
sum[k = 1]-[oo][ sup{f(x) : x€{x_{k}} }·|{x_{k}}| ] = int[f(x)]d[x]
Teorema:
int[ s_{n}(x) ]d[x] es creciente
int[ S_{n}(x) ]d[x] es decreciente
Demostración:
int[ s_{n}(x) ]d[x] = sum[k = 1]-[n][ inf{f(x) : x€ E_{k} }·|E_{k}| ] = ...
... sum[k = 1]-[n][ inf{f(x) : x€ E_{k} }·|E_{k} [ || ] A_{1}| ] [< ...
... sum[k = 1]-[n][ inf{f(x) : x€ E_{k} [ || ] A_{1} }·|E_{k} [ || ] A_{1}| ]
... sum[k = 1]-[n][ inf{f(x) : x€ E_{k+1} }·|E_{k+1}| ] = int[ s_{n+1}(x) ]d[x]
Teorema: [ de Tonelli-Fubini ]
[EP][ int[ P(y) ]d[y] = int-int[ f(x,y) ]d[x]d[y] ]
[EQ][ int[ Q(x) ]d[x] = int-int[ f(x,y) ]d[y]d[x] ]
Demostración: [ Tonelli ]
f(x,y) = lim[n = oo][ s_{n}(x,y) ]
Se define P_{n}(y) = int[ s_{n}(x,y) ]d[x]
P(y) = lim[n = oo][ int[ s_{n}(x,y) ]d[x] ]
int[ P(y) ]d[y] = int[ lim[n = oo][ int[ s_{n}(x,y) ]d[x] ] ]d[y] = ...
... int-int[ lim[n = oo][ s_{n}(x,y) ] ]d[x]d[y] = int-int[ f(x,y) ]d[x]d[y]
Examen:
Demostración: [ Fubini ]
f(x,y) = lim[n = oo][ S_{n}(x,y) ]
Teorema:
Si ( F_{n}(x) = int[ f_{n}(x) ]d[x] & d_{x}[F(x)] = f(x) ) ==> ...
... lim[n = oo][ int[ f_{n}(x) ]d[x] ] = int[ lim[n = oo][ f_{n}(x) ] ]d[x]
Demostración:
| int[ f_{n}(x) ]d[x]+(-1)·int[ f(x) ]d[x] | = | F_{n}(x)+(-1)·F(x) | < s
Menjjatzi-ten-dut-zû-tek omelli-koaks amb llimutna-tat-koashek,
mentres no hatzeguin-ten-dut-zen-tek un copi-koak de estatu-dut abertzale-koashek en Euskal-Herria.
Menjjatzi-ten-dut-zaré-de-tek omelli-koaks sense llimutna-tat-koashek,
cuant hatzeguin-ten-dut-zin-tek un copi-koak de estatu-dut abertzale-koashek en Euskal-Herria.
Pocho-Castellano [o] Castellano
-diad [o] -dad
-tiad [o] -tad
uello [o] ojo
piuello [o] piojo
huella [o] hoja
cuellones [o] cojones
uereja [o] oreja
uemeja [o] omeja
uevejo [o] ovejo
ueveja [o] oveja
tues [o] tos
dues [o] dos
truenco [o] tronco
druen [o] dron
Oyen con sus uerejas,
lo que habletchko.
Ven con sus uellos,
lo que escrivitchko.
Han caído la huellas del árbol,
porque ya es Otoño.
No han caído las huellas del árbol,
porque aun no es Otoño.
Menjetchko uemejas con limón,
no al natural.
Menjetchko uemejas sin limón,
al natural.
Utilizamos el interior del uevejo,
porque en el exterior no tiene lana.
Utilizamos el exterior de la ueveja,
porque en el exterior tiene lana.
Teorema:
int[ 0^{k} ]d[x] = 0^{k}·x
Demostración:
lim[h = 0][ (1/h)·( 0^{k}·(x+h)+(-1)·0^{k}·x ) ] = (k+1)·0^{k}
f(k+1) = 1
[Ek][ Id(k+1) = 1 & k = 0 ]
Teorema:
f_{n}(x) = (1/n) es integrable
Demostración:
lim[n = oo][ int[ (1/n) ]d[x] ] = lim[n = oo][ (1/n)·x ] = 0·x = int[ 0 ]d[x] = int[ lim[n = oo][ (1/n) ] ]d[x]
Teorema:
int[ oo^{k} ]d[x] = oo^{k}·x
Demostración:
lim[h = 0][ (1/h)·( oo^{k}·(x+h)+(-1)·oo^{k}·x ) ] = (k+1)·oo^{k}
f(k+1) = 1
[Ek][ Id(k+1) = 1 & k = 0 ]
Teorema:
f_{n}(x) = n es integrable
Demostración:
lim[n = oo][ int[ n ]d[x] ] = lim[n = oo][ nx ] = oo·x = int[ oo ]d[x] = int[ lim[n = oo][ n ] ]d[x]
Teorema:
f_{n}(x) = (1/n)·x^{p} es integrable
Demostración:
lim[n = oo][ int[ (1/n)·x^{p} ]d[x] ] = lim[n = oo][ (1/n)·( 1/(p+1) )·x^{p+1} ] = ...
... 0·( 1/(p+1) )·x^{p+1} = int[ 0·x^{p} ]d[x] = int[ lim[n = oo][ (1/n)·x^{p} ] ]d[x]
Teorema:
f_{n}(x) = n·x^{p} es integrable
Demostración:
lim[n = oo][ int[ n·x^{p} ]d[x] ] = lim[n = oo][ n·( 1/(p+1) )·x^{p+1} ] = ...
... oo·( 1/(p+1) )·x^{p+1} = int[ oo·x^{p} ]d[x] = int[ lim[n = oo][ n·x^{p} ] ]d[x]
Examen de análisis matemático 4:
Teorema:
f_{n}(x) = (1/n)·(1/x) es integrable
Teorema:
f_{n}(x) = n·(1/x) es integrable
