Teorema:
lim[n = oo][ n^{p}+(-1)·n^{p} ] = 0
Demostración:
Se define n_{0} > (1/s)
| n^{p}+(-1)·n^{p} | = n^{p}·0 = 0 < (1/n) [< ( 1/n_{0} ) < s
Teorema:
[Ak][ k >] 1 ==> lim[n = oo][ n^{p+k}+(-1)·n^{p} ] = oo ]
Demostración:
Se define n_{0} > s+1
n^{p+k}+(-1)·n^{p} = n^{p}·( n^{k}+(-1) ) >] ( n^{k}+(-1) ) >] n+(-1) >] n_{0}+(-1) > s
Teorema:
lim[n = oo][ e^{pn}+(-1)·e^{pn} ] = 0
Demostración:
Se define n_{0} > (1/s)
| e^{pn}+(-1)·e^{pn} | = e^{pn}·0 = 0 < (1/n) [< ( 1/n_{0} ) < s
Teorema:
[Ak][ k >] 1 ==> lim[n = oo][ e^{pn+kn}+(-1)·e^{pn} ] = oo ]
Demostración:
Se define n_{0} > s+1
e^{pn+kn}+(-1)·e^{pn} = e^{pn}·( e^{kn}+(-1) ) >] e^{kn}+(-1) >] n+(-1) >] n_{0}+(-1) > s
Teorema:
lim[n = oo][ a_{n}+(-1)·a_{n} ] = 0
Demostración:
Se define n_{0} > (1/s)
| a_{n}+(-1)·a_{n} | = a_{n}·0 = 0 < (1/n) [< ( 1/n_{0} ) < s
Teorema:
Si ( a_{n} >] 1 & b_{n} es expansiva ) ==> lim[n = oo][ a_{n}·b_{n}+(-1)·a_{n} ] = oo ]
Demostración:
Se define n_{0} > s+1
a_{n}·b_{n}+(-1)·a_{n} = a_{n}·( b_{n}+(-1) ) >] b_{n}+(-1) >] n+(-1) >] n_{0}+(-1) > s
Ecuaciones diferenciales:
Operador Sturm-Lioville:
Definición:
H(f(x)) [o(x)o] H(g(x)) = H( f(x) [o(x)o] g(x) ) [o(x)o] H(x)
h(f(x))·h(g(x)) = h( f(x)·g(x) )·h(1)
Teorema:
d_{x}[ H( f(x) [o(x)o] g(x) ) [o(x)o] H(x) ] = h( f(x)·g(x) )·h(1)·d_{x}[f(x)]·d_{x}[g(x)]
Teorema:
Si ( H(x) = x & h(x) = x^{0} ) ==> ...
... d_{x}[ H( f(x) [o(x)o] g(x) ) [o(x)o] H(x) ] = ( f(x)·g(x) )^{0}·1^{0}·d_{x}[f(x)]·d_{x}[g(x)]
Teorema:
f(x)·e^{x}·f(x)·e^{(-x)} = f(x)·( e^{x}·e^{(-x)} )·( f(x)·1 ) = ( f(x) )^{2}
( e^{x} )^{f(x)}·( e^{(-x)} )^{f(x)} = ( e^{x}·e^{(-x)} )^{f(x)}·( 1^{f(x)} ) = 1
Definición:
ln(f(x)) [o(x)o] ln(g(x)) = pow-ln( f(x) [o(x)o] g(x) )
ln(f(x))·ln(g(x)) = pow-ln( f(x)·g(x) )
Definición:
e^{f(x)} [o(x)o] e^{g(x)} = e-pow( f(x) [o(x)o] g(x) )
e^{f(x)}·e^{g(x)} = e-pow( f(x)·g(x) )
Teorema:
ln(e^{n})·ln(e^{m}) = pow-ln(e^{n+m}) = pow(n+m) = n·m
e^{ln(n)}·e^{ln(m)} = e-pow( ln(n)·ln(m) ) = e^{ln(n)+ln(m)} = n·m
Teorema:
Sea Wronsk[1]-[P(x),Q(x)]( d_{x}[f(x)] ) = ...
... ( 1/( d_{x}[f(x)]·d_{xx}^{2}[f(x)] ) )·| < d_{x}[P(x)],i·Q(x) >,< i·f(x),d_{x}[f(x)] > | ==>
d_{x}[ P(x)·d_{x}[f(x)] ]+Q(x)·f(x) = 0
f(x) = int[ Anti-pow[1]-[o(x)o]-Wronsk[1]-[P(x),Q(x)]( ...
... Anti-pow[(-1)]-[o(x)o]-pow-ln( (-1)·int[ ( 1/P(x) ) ]d[x] ) ...
... ) ]d[x]
Demostración:
P(x)·d_{xx}^{2}[f(x)] = (-1)·Wronsk[1]-[P(x),Q(x)]( d_{x}[f(x)] )·( d_{x}[f(x)]·d_{xx}^{2}[f(x)] )
ln( Wronsk[1]-[P(x),Q(x)]( d_{x}[f(x)] ) ) = ...
... (-1)·int[ ( 1/P(x) ) ]d[x] [o(x)o] Wronsk[1]-[P(x),Q(x)]( d_{x}[f(x)] ) [o(x)o] ...
... ( d_{x}[f(x)] /o(x)o/ ln(d_{x}[f(x)]) )
Wronsk[1]-[P(x),Q(x)]( d_{x}[f(x)] ) [o(x)o] d_{x}[f(x)] = ...
... Anti-pow[(-1)]-[o(x)o]-pow-ln( (-1)·int[ ( 1/P(x) ) ]d[x] )
f(x) = int[ Anti-pow[1]-[o(x)o]-Wronsk[1]-[P(x),Q(x)]( ...
... Anti-pow[(-1)]-[o(x)o]-pow-ln( (-1)·int[ ( 1/P(x) ) ]d[x] ) ...
... ) ]d[x]
Teorema:
Sea Wronsk[n+1]-[P(x),Q(x)]( d_{x}[f(x)] ) = ...
... ( 1/( d_{x}[f(x)]^{n+1}·d_{xx}^{2}[f(x)] ) )·...
... | < d_{x}[P(x)],i·Q(x) >,< i·f(x),(1/(n+1))·d_{x}[f(x)]^{n+1} > | ==>
d_{x}[ P(x)·( 1/(n+1) )·d_{x}[f(x)]^{n+1} ]+Q(x)·f(x) = 0
f(x) = int[ Anti-pow[1]-[o(x)o]-Wronsk[n+1]-[P(x),Q(x)]( ...
... Anti-pow[(-1)]-[o(x)o]-pow-ln( (-1)·int[ ( 1/P(x) ) ]d[x] ) ...
... ) ]d[x]
Demostración:
P(x)·d_{x}[f(x)]^{n}·d_{xx}^{2}[f(x)] = ...
... (-1)·Wronsk[n+1]-[P(x),Q(x)]( d_{x}[f(x)] )·( d_{x}[f(x)]^{n+1}·d_{xx}^{2}[f(x)] )
Artículo 157 de la Luz y del Caos:
No hablando el idioma,
del mismo territorio geográfico,
se comete un delito de sedición cultural,
porque el idioma no hablado,
es cobertura de milagro del territorio.
El que injurie a su hermano,
será llevado ante el Tribunal Supremo.
Hablando el idioma,
de diferente territorio geográfico,
se comete un delito de alzamiento cultural,
porque el idioma hablado,
no es cobertura de milagro del territorio.
El que des-injurie a un extraño,
será llevado ante el Tribunal Ínfimo.
Derecho Constitucional de la Luz:
El que se irrite con su hermano será llevado a juicio.
No se puede ser prójimo del mismo territorio geográfico.
El que adopte a un extraño será llevado a juicio.
No se puede ser próximo de diferente territorio geográfico.
Derecho Constitucional del Caos:
El que se irrite con su hermano no será llevado a juicio.
Se puede ser prójimo del mismo territorio geográfico.
El que adopte a un extraño no será llevado a juicio.
Se puede ser próximo de diferente territorio geográfico.
Se pueden federar todas las autonomías del mismo territorio geográfico,
no habiendo prójimo del mismo territorio geográfico.
No se pueden federar autonomías de diferente territorio geográfico,
no habiendo próximo de diferente territorio geográfico.
Artículo 145 del Caos:
No se pueden federar todas las autonomías del mismo territorio geográfico,
habiendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Se pueden federar autonomías de diferente territorio geográfico,
habiendo próximo de diferente territorio geográfico.
Artículo 1 de la Luz:
España es una nación disoluble en cinco patrias,
pero indisoluble en subconjuntos de una patria,
constituida por las cinco patrias comunes de la península ibérica.
No siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
No siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Artículo 1 del Caos:
España es una nación indisoluble en cinco patrias,
pero disoluble en subconjuntos de una patria,
constituida por un subconjunto estricto de las cinco patrias comunes de la península ibérica.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Anexo del Caos:
Coímbra es España siendo la patria Portugal.
Aragón es España siendo la patria Càteldor.
La-Rioja es España siendo la patria Euskal-Naffarreldor.
Asturias es España siendo la patria Astur-Cantabri-koashek-Naffarreldor.
Siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Galicia es Portugal siendo la patria Cásteldor.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Artículo 159 de la Luz:
No paga impuestos a la capital,
ninguna autonomía de diferente patria que la capital,
no cometiendo un delito de alzamiento económico.
No siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Paga impuestos a la capital,
toda autonomía de la misma patria que la capital,
no cometiendo un delito de sedición económica
No siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Artículo 159 del Caos:
Paga impuestos a la capital,
alguna autonomía de diferente patria que la capital,
no cometiendo un delito de alzamiento económico de patria completa.
Siendo próximo de diferente territorio geográfico.
No paga impuestos a la capital,
toda-alguna autonomía de la misma patria que la capital,
no cometiendo un delito de sedición económica de patria completa.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Anexo del Artículo 159:
No puede ser que:
No pague a Barcelona ninguna autonomía de Càteldor,
porque se comete un delito de sedición económica de patria completa.
No puede ser que:
Pague a Madrid toda autonomía de Càteldor,
porque se comete un delito de alzamiento económico de patria completa.
Te gustatzi-ten-dut-za-tek,
nuektrek pentinatu-dut?
Me gustatzi-ten-dut-za-tek,
vuektrek pentinatu-dut.
Clásico:
Consejo [o] Consell
Ceja [o] Cella
Artículo 125 de la Luz:
Hay la liga española de deporte,
de las cuatro patrias de la península ibérica,
porque hay la copa del Continente Europeo.
No siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Artículo 125 del Caos:
Hay la liga española de deporte,
de tres de las cuatro patrias de la península ibérica,
porque hay la copa del Continente Europeo.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Aunque un subconjunto de España sea independiente,
los equipos de ese subconjunto pueden jugar en la liga española de deporte,
porque hay la copa del Continente Europeo.
Sigue siendo prójimo del mismo territorio geográfico,
de tres de las cuatro patrias de la península ibérica.
Artículo 127 de la Luz:
Hay la Copa del Rey de España de deporte,
de las cuatro patrias de la península ibérica,
porque hay la copa del Continente Europeo.
No siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Artículo 127 del Caos:
Hay la Copa del Rey de España de deporte,
de tres de las cuatro patrias de la península ibérica,
porque hay la copa del Continente Europeo.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Anexo del Caos:
Aunque un subconjunto de España sea independiente,
los equipos de ese subconjunto pueden jugar en la Copa del Rey de España de deporte,
porque hay la copa del Continente Europeo.
Sigue siendo prójimo del mismo territorio geográfico,
de tres de la cuatro patrias de la península ibérica.
Artículo 129 de la Luz:
La copa del Continente Europeo no puede ser un subconjunto estricto de Europa.
No siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
La copa del Continente Europeo no puede ser un superconjunto estricto de Europa.
No siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Artículo 129 del Caos:
La copa del Continente Europeo puede ser un subconjunto estricto de Europa.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
La copa del Continente Europeo puede ser un superconjunto estricto de Europa.
Siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Artículo 115 de la Luz:
No existe la OTAN.
No siendo próximo de diferente territorio geográfico
Artículo 115 del Caos:
Existe la OTAN.
Siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Artículo 117 de la Luz:
Reino Unido es la Unión Europea.
No siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Artículo 117 del Caos:
Reino Unido no es la Unión Europea.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Artículo 105 de la Luz:
Dibujando un subconjunto estricto de una patria,
se comete un delito de sedición gráfica.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Dibujando un superconjunto estricto de una patria,
se comete un delito de alzamiento gráfico.
Siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Artículo 105 del Caos:
Dibujando un subconjunto estricto de una patria,
no se comete un delito de sedición gráfica de patria completa.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Dibujando un superconjunto estricto de una patria,
no se comete un delito de alzamiento gráfico de patria completa.
Siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Anexo del Caos:
No dibujando ningún subconjunto definido desde una misma patria,
se comete un delito de sedición gráfica de patria completa
Dibujando todo superconjunto definido desde una diferente patria,
se comete un delito de alzamiento gráfico de patria completa.
Artículo 107 de la Luz:
No se puede presentar un partido político nacionalista en un subconjunto estricto de una patria,
se comete un delito de sedición política.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
No se puede presentar un partido político unionista en un superconjunto estricto de una patria,
se comete un delito de alzamiento político.
Siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Artículo 107 del Caos:
Se puede presentar un partido político siendo nacionalista en un subconjunto estricto de una patria,
no se comete un delito de sedición política de patria completa.
Siendo prójimo del mismo territorio geográfico.
Se puede presentar un partido político siendo unionista en un superconjunto estricto de una patria,
no se comete un delito de alzamiento político de patria completa.
Siendo próximo de diferente territorio geográfico.
Anexo del Caos:
Presentando-se un partido político no siendo nacionalista,
en ningún subconjunto definido desde una misma patria,
se comete un delito de sedición política de patria completa
Tiene que ser nacionalista en algún subconjunto.
Presentando-se un partido político siendo unionista,
en todo superconjunto definido desde una diferente patria,
se comete un delito de alzamiento político de patria completa.
No tiene que ser unionista en todo-algún superconjunto.
Artículo 155 de la Luz:
Se puede suspender la democracia de una autonomía,
no cometiendo un delito de alzamiento,
no pudiendo ser el gobierno de fuera de la patria de la autonomía.
Artículo 155 del Caos:
Se puede suspender la democracia de una autonomía,
no cometiendo un delito de alzamiento de patria completa,
pudiendo ser el gobierno de fuera de la patria de la autonomía.
Anexo de la Luz:
Pueden ser homogéneos:
Càteldor, Euskal-Herria y Castilla-Madrid.
Article 1 del Estatut de Càteldor de la Llum:
Càteldor es una patria indisoluble constituida per 4 autonomíes:
Catalunya, Aragó, País Valencià y sas Illes Balears.
Article 1 del Estatut de Càteldor del Caos:
Càteldor es una patria disoluble constituida per 4 autonomíes:
Catalunya, País Valencià y sas Illes Balears,
formant la Federació dels Països Catalans,
y una altre autonomía que es Aragó que es España.
Articli-koak 1 del Estatutu-dut de Euskaldor de la Argi-koak:
Euskal-Naffarreldor es-de-tek una patri-koak indisolublek,
constituita-dat per 3 autonomí-koaks:
Euskadi, Navarra y La-Riojotzak.
Astur-Cantabri-koashek-Naffarreldor es-de-tek una patri-koaikek indisolublek,
constituita-dat per 2 autonomí-koaikeks:
Cantabria y Asturias.
Articli-koak 1 del Estatutu-dut de Euskaldor del Caos-koak:
Euskal-Naffarreldor es-de-tek una patri-koak disolublek constituita-dat per 3 autonomí-koaks:
Euskadi y Navarra,
formantu-dut la Federaciuna-tat-koashek de Euskal-Herria,
y otrek autonomi-koak que es-de-tek La-Riojotzak que es-de-tek España.
Astur-Cantabri-koashek-Naffarreldor es-de-tek una patri-koaikek disolublek,
constituita-dat per 2 autonomí-koaikeks:
Cantabria,
y otrek autonomi-koaikek que es-de-tek Asturias que es-de-tek España.
Article 2 del Estatut de Càteldor de la Llum y del Caos:
No se pukte pont-de-si prohibir es dialecte Balear des Cateldorià a sas Illes Balears.
No es pot prohibir el dialecte Català del Cateldorià a Catalunya.
No es pot prohibishkir el dialecte Valencià del Cateldorià al País Valencià
No es pot prohibitxkir el dialecte Aragonés del Cateldorià a Aragó.
Espacios métricos de Banach:
Entornos-de-Bola-métrica es espacios compactos:
Teorema:
Sea n = #A ==>
Si [As][ s > 0 ==> [Ex][ B(x,s) [<< A ] ] ==> A mono-compacto
Demostración:
Sea s > 0 ==>
0 = m(x_{k},x_{k}) < s
{x_{k}} = B(x_{k},0) [<< A
Teorema:
Sea n = #A ==>
[Es][ s >] 0 & [ || ]-[k = 1]-[n][ B(x_{k},s) ] [<< A ] <==> A mono-compacto
Demostración:
[==>] Sea s >] 0 ==>
{x_{k}} = B(x_{k},0) [<< [ || ]-[k = 1]-[n][ B(x_{k},s) ] [<< A ]
[<==] Se define s = 0 ==>
s >] 0
[Ak][ k [< n ==> {x_{k}} [<< A ]
B(x_{k},0) = {x_{k}}
[ || ]-[k = 1]-[n][ B(x_{k},s) ] = [ || ]-[k = 1]-[n][ B(x_{k},0) ] = [ || ]-[k = 1]-[n][ {x_{k}} ] = [<< A
Teorema:
Si [As][ s > 0 ==> [Ex][ B(x,s) es compacta & B(x,s) [<< A ] ] ==> A es compacto
Demostración:
Sea s > 0 & s = max{s_{k}}
[ || ]-[k = 1]-[n][ B(x,s_{k}) ] [<< B(x,s) [<< A
Métricas en espacios compactos:
Teorema:
Sean ( A [<< E & B [<< E ) ==>
Si ( A es mono-compacto & B es mono-compacto ) ==> A+B es mono-compacto
Demostración:
{x_{i}+y_{j}} = {x_{i}}+{y_{j}} [<< A+B
Teorema:
Sean ( A [<< E & B [<< E ) ==>
Si ( A es mono-compacto & B es mono-compacto ) ==> A·B es mono-compacto
Demostración:
{x_{i}·y_{j}} = {x_{i}}·{y_{j}} [<< A·B
Teorema:
Sea A = [1,2]_{R} [ || ] {3} & B = {(-3)} [ || ] [(-2),(-1)]_{R}
A es mono-compacto en Z
B es mono-compacto en Z
Teorema:
Sean ( A [<< E & B [<< E ) ==>
Si ( A es mono-compacto & B es mono-compacto ) ==> ( A [&] B = 0 <==> m(A,B) != 0 )
Demostración:
0 = m(A,B) = m(x,x)
x€ A [&] B
Métricas duales:
Definición:
u(x,y) = min{x+(-y)}
v(y,x) = max{y+(-x)}
Teorema:
u(x,x) = min{x+(-x)} = 0
v(y,y) = max{(-y)+y} = 0
Teorema:
min{x+(-y)} [< max{x+(-z)}+max{z+(-y)}
max{y+(-x)} >] min{y+(-z)}+min{z+(-x)}
Teorema:
Sean ( A [<< R & B [<< R ) ==>
Si A es mono-compacto en N[ n > 0 ] ==> ...
... [Az][ z€R[ z >] max(A) >] 0 ] ==> [Ex][ x€A & u(z,A) = z+(-x) ] ]
Si B es mono-compacto en Z[ n < 0 ] ==> ...
... [Az][ z€R[ z [< min(B) [< 0 ] ==> [Ey][ y€B & v(z,B) = z+(-y) ] ]
Demostración:
[Ek][ {a_{k}} [<< A ]
Se define x = max{a_{k}}
max{a_{k}}+(-z) >] x+(-z)
u(z,A) = min{z+(-x)} = z+(-1)·max{a_{k}}
[Ek][ {b_{k}} [<< B ]
Se define y = min{b_{k}}
min{b_{k}}+(-z) [< y+(-z)
v(z,B) = max{z+(-y)} = z+(-1)·min{b_{k}}
Teorema:
Sean ( A [<< R & B [<< R ) ==>
Si A es mono-compacto en N[ n > 0 ] ==> ...
... [Az][ z€R[ z >] max(A) >] 0 ] ==> [Ex][ x€R & u(z,A) = z·(1+(-x)) ] ]
Si B es mono-compacto en Z[ n < 0 ] ==> ...
... [Az][ z€R[ z [< min(B) [< 0 ] ==> [Ey][ y€R & v(z,B) = z·(1+(-y)) ] ]
Demostración:
[Ek][ {a_{k}} [<< A ]
Se define x = (-1)·(1/z)·( z+(-1)·max{a_{k}} )+z
[Ek][ {b_{k}} [<< B ]
Se define y = (-1)·(1/z)·( z+(-1)·min{b_{k}} )+z
Teorema:
Sean ( A [<< R & B [<< R ) ==>
Si A es mono-compacto en N[ n > 0 ] ==> ...
... [Az][ z€R[ z >] max(A) >] 0 ] ==> [Ex][ x€R & u(z,A) = (1/z)·(1+(-x)) ] ]
Si B es mono-compacto en Z[ n < 0 ] ==> ...
... [Az][ z€R[ z [< min(B) [< 0 ] ==> [Ey][ y€R & v(z,B) = (1/z)·(1+(-y)) ] ]
Demostración:
[Ek][ {a_{k}} [<< A ]
Se define x = (-1)·z·( z+(-1)·max{a_{k}} )+(1/z)
[Ek][ {b_{k}} [<< B ]
Se define y = (-1)·z·( z+(-1)·min{b_{k}} )+(1/z)
Ejemplos teóricos de examen de espacios métricos de Banach:
Teorema:
Si A = [a+(-s),a+s]_{K} [ || ] {c} ==> [EB(x_{k},s_{k})][ [ || ]-[k = 1]-[n][ B(x_{k},s_{k}) ] [<< A ]
Demostración:
[a+(-s),a+s]_{K} = B(a,s) = B(x_{1},s_{1}) & {c} = B(c,0) = B(x_{2},s_{2})
Teorema:
Si ( A = [a,b]_{K} & c >] b ) ==> m(c,A) = c+(-b)
Si ( B = [(-b),(-a)]_{K} & (-c) [< (-b) ) ==> m(c,B) = (-c)+b
Demostración:
x [< b
(-b) [< (-x)
u(c,A) = min{c+(-x)} = c+(-b) [< c+(-x)
(-b) [< (-x)
x [< b
v((-c),B) = max{x+(-c)} = (-c)+b >] (-c)+x
Examen de espacios métricos de Banach:
Si A = [0,4]_{R} [ || ] {5} ==> [EB(x_{k},s_{k})][ [ || ]-[k = 1]-[n][ B(x_{k},s_{k}) ] [<< A ]
Examen de espacios métricos de Banach:
Si A = [0,2]_{R} [ || ] [3,4]_{R} [ || ] {5} ==> ...
... [EB(x_{k},s_{k})][ [ || ]-[k = 1]-[n][ B(x_{k},s_{k}) ] [<< A ]
Examen de espacios métricos de Banach:
Si ( A = [0,2]_{K} & c = 5 ) ==> m(c,A) = 3
Si ( B = [(-2),0]_{K} & (-c) = (-5) ) ==> m(c,B) = (-3)
Teorema:
Si F(x) = int[x = 0]-[f(x)][ 2e^{x}·x ]d[x] ==> ...
... ( d_{x}[F(x)] = e^{f(x)} <==> f(x) = x^{(1/2)} )
Demostración:
d_{x}[F(x)] = 2e^{f(x)}·f(x)·d_{x}[f(x)]
2·f(x)·d_{x}[f(x)] = 1
Teorema:
Si F(x) = int[x = 0]-[f(x)][ (1/2)·e^{x}·(1/x) ]d[x] ==> ...
... ( d_{x}[F(x)] = e^{f(x)} <==> f(x) = e^{2x} )
Demostración:
d_{x}[F(x)] = e^{f(x)}·(1/2)·( 1/f(x) )·d_{x}[f(x)]
( 1/f(x) )·d_{x}[f(x)] = 2
Teorema:
Si F(x) = int[x = 0]-[f(x)][ e^{x}·x ]d[x] ==> ...
... ( d_{x}[F(x)] = xe^{f(x)} <==> f(x) = ( k+x^{2} )^{(1/2)} )
Demostración:
d_{x}[F(x)] = e^{f(x)}·f(x)·d_{x}[f(x)]
2·f(x)·d_{x}[f(x)] = 2x
( f(x) )^{2} = k+x^{2}
Teorema:
Si F(x) = int[x = 0]-[f(x)][ e^{x}·(1/x) ]d[x] ==> ...
... ( d_{x}[F(x)] = xe^{f(x)} <==> f(x) = e^{(1/2)·x^{2}} )
Demostración:
d_{x}[F(x)] = e^{f(x)}·( 1/f(x) )·d_{x}[f(x)]
( 1/f(x) )·d_{x}[f(x)] = x
Teorema:
Si ( F(x) = int[x = ln(0)]-[f(x)][ e^{x} ]d[x] & d_{xx}^{2}[f(x)] = 0 ) ==> ...
... [Ek][ F(x) = e^{kx} ]
Teorema:
Si ( F(x) = int[x = ln(0)]-[f(x)][ e^{x} ]d[x] & d_{xx}^{2}[f(x)·x^{2}] = 0 ) ==> ...
... [Ek][ F(x) = e^{(k/x)} ]
Teorema:
Si F(x) = int[x = 0]-[f(x)][ e^{x}·x ]d[x] ==> ...
... ( d_{x}[F(x)] = (1/2)·sin(2x)·e^{f(x)} <==> ( f(x) = sin(x) || f(x) = (-1)·sin(x) )
Demostración:
d_{x}[F(x)] = e^{f(x)}·f(x)·d_{x}[f(x)]
f(x)·d_{x}[f(x)] = (1/2)·sin(2x)
f(x)·d_{x}[f(x)] = sin(x)·cos(x)
Teorema:
Si F(x) = int[x = 0]-[f(x)][ e^{x}·x ]d[x] ==> ...
... ( d_{x}[F(x)] = (-1)·(1/2)·sin(2x)·e^{f(x)} <==> ( f(x) = cos(x) || f(x) = (-1)·cos(x) )
Demostración:
d_{x}[F(x)] = e^{f(x)}·f(x)·d_{x}[f(x)]
f(x)·d_{x}[f(x)] = (-1)·(1/2)·sin(2x)
f(x)·d_{x}[f(x)] = (-1)·sin(x)·cos(x)
Definición:
lim[y = kx][x = c][ f(x,y) ] = l_{k} <==> ...
... [As][ s > 0 ==> [Ed][ d > 0 & ...
... [Ax][ Si ( |x+(-c)| < d & |kx+(-1)·kc| < d ) ==> |f(x,kx)+(-1)·l_{k}| < s ] ] ]
Teorema:
lim[y = kx][x = 0][ ( (x+y)/x ) ] = 1+k
lim[y = kx][x = 0][ ( (y+x)/y ) ] = 1+(1/k)
Teorema:
lim[y = kx][x = 0][ ( (xy+y^{2})/(xy) ) ] = 1+k
lim[y = kx][x = 0][ ( (xy+x^{2})/(xy) ) ] = 1+(1/k)
Teorema:
lim[y = kx][x = 0][ ( (e^{x+y}+(-1))/x ) ] = 1+k
lim[y = kx][x = 0][ ( (e^{y+x}+(-1))/y ) ] = 1+(1/k)
Teorema:
lim[y = kx][x = 0][ ( sin(x+y)/x ) ] = 1+k
lim[y = kx][x = 0][ ( sin(y+x)/y ) ] = 1+(1/k)
Teorema:
lim[y = kx][x = 0][ ( ln(1+(x+y))/x ) ] = 1+k
lim[y = kx][x = 0][ ( ln(1+(y+x))/y ) ] = 1+(1/k)
Teorema:
lim[y = kx][x = 1][ ( (y^{n}+(-1)·k^{n})/(x+(-1)) ) ] = k^{n}·n
lim[y = kx][x = 1][ ( (y^{(1/n)}+(-1)·k^{(1/n)})/(x+(-1)) ) ] = k^{(1/n)}·(1/n)
Teorema:
lim[y = kx][x = 1][ ( (y^{n}+(-1)·k^{n})/(x^{m}+(-1)) ) ] = k^{n}·(n/m)
lim[y = kx][x = 1][ ( (y^{(1/n)}+(-1)·k^{(1/n)})/(x^{(1/m)}+(-1)) ) ] = k^{(1/n)}·(m/n)
